Tan-Tan

B M H sin(x) x cos(x) = abscisse de M tan(x) sin(x) = ordonnée de M 1 cos(x) A tan(x) = AH cotan(x) = BK eix = zM sin(x) cos(x) π 1 π + πZ, tan(x) = et pour x ∈ πZ, cotan(x) = / . Enfin pour x ∈ Z, cotan(x) = / . 2 cos(x) sin(x) 2 tan(x) Valeurs usuelles. Pour x ∈ / x en ◦ x en rd 0 30 45 60 90 0 π 6 π 4 π 3 √ 3 2 π 2 sin(x) 0 cos(x) 1 tan(x) 0 cotan(x) √ 1 2 √ = 2 2 √ 1 2

propriétés. TS 1. Résoudre, sur ]-p ; p], l'équation : cos x = 0 En déduire toutes les solutions, sur , de cette équation. 2. On considère la fonction tangente, notée tan, et définie par : sin x p pour x Î D où D =  \ { + kp, k Î } cos x 2 r r On note C sa courbe représentative dans un repère orthogonal (O, i , j ) tan x = a. Étudier la parité de cette fonction. b. Démontrer que la fonction tangente est p-périodique. c. Expliquer pourquoi on peut se contenter d'étudier la fonction tangente

TRIGONOMÉTRIE Exercice 1 Résoudre, sur , les équations suivantes : 2 3 sin x = 4 Exercice 2 Simplifier au maximum les expressions suivantes : 2 æp ö A(x) = cos(x + p) sin ç - x ÷ - sin (-x) è2 ø 2 cos x = 1 2 sin (2x) = cos x B(x) = tan(x + p) - tan x (pour x Î ]- p p ; [) 2 2 2æ pö C(x) = sin ç x - ÷ + sin(p – x).sin(–x) 2ø è æp ö æp ö D(x) = sin ç + x ÷ – sin ç - x ÷ è3 ø è3 ø Démontrer que pour tout x Î  : 2 3 æp ö æp ö - sin x sin ç + x ÷ ´ sin ç - x ÷ = 4 è3 ø è3 ø Généralisation

1) sin x = 0 2) sin x = 1 3) sin x = −1 4) cos x = 1 5) cos x = −1 8) tan x = 1. no 2 (*IT) Résoudre dans R puis dans [0, 2π] les équations suivantes : 1 1) sin x = 2 1 2) sin x = − √ 2 1 3) tan x = −1 4) tan x = √ 3 √ 3 5) cos x = 2 1 6) cos x = − √ . 2 6) cos x = 0 7) tan x = 0 no 3(**IT) Résoudre dans R puis dans I les équations suivantes : 1 , I = [0, 2π] 2 4) cos(2x) = cos2 x, I = [0, 2π] 7) | cos(nx)| = 1 10) sin x = tan x, I = [0, 2π] 1) sin(2x) = 1 x = − √ , I = [0, 4π] 2 2 5) 2 cos2 x −

Arctan est définie sur R. Par conséquent f l’est aussi. b) lim f ( x) x x lim 2 Arc tan( x 2 1 x) 1 x2 x2 x lim 2 Arc tan 1 x2 1 x ( x 2 1 x) ( x 2 1 x) ( x 2 1 x) lim 2 Arc tan X X 0 = xlim 2 Arc tan x2 1 x x lim 2 Arc tan 0 On en déduit donc que la courbe de f admet comme asymptote l’axe des abscisses. x lim f ( x) x lim 2 Arc tan( x 2 1 x) X lim 2 Arc tan X 2 2 . On en déduit donc que la courbe de f admet comme asymptote la droite d’équation

Relations fondamentales cos2 (x) + sin2 (x) = 1 Arccos(x) + Arcsin(x) = π 2 1 d − dx cotan(x) = 1 + cotan2 (x) = sin2 (x) 1 Arctan(x) + Arctan x = signe(x) × π 2 d dx tan(x) = 1 + tan2 (x) = cos1(x) 2 Arctan(x) + Arccotan(x) = π 2 x en radians 0 Arccos(−x) = π − Arccos(x) π 6 π 4 π 3 π 2 ix cos(x) sin(x) tan(x) 1 0 0 √ √ 3 2 √ 2 2 1 2 1 2 √ 2 2 √ 3 2 3 3 0 −ix 1 ix 1 √ 3 ±∞ −ix Il faut savoir linéariser à l’aide des formules d’Euler cos(x) = e +e et sin(x) = e −e ;

[GR] pour côté adjacent et [DR] pour côté opposé. Exercice 9 page 208 a) cos (�OU I )= OU IU b) sin (�OU I )= OI IU c) tan (�OU I )= OI OU Exercice 11 page 208 1) Le triangle GPR est rectangle car il vérifie l’égalité de Pythagore. En effet : PR2 = 132 = 169 GP 2 +GR2 = 52 +122 = 25+144 = 169 2) On exprime les rapports trigonométriques. a) cos (�GPR )= GP PR b) sin (�GPR )= GR PR c) tan (�GPR )= GR GP Exercice 14 page 208 1) Si cos(50°) = AB 4

fondamentales tan(x) = sin(x)/cos(x) Petite astuce de Nelly: Pour se souvenir de la formule précédente, perso je me dis que tangente c'est Soleil sur Carottes ! D'où sin sur cos...si ça peut aider! sin²(x) + cos²(x) = 1 sin²(x) = tan²(x) / (1 + tan²(x)) cos²(x) = 1 / (1 + tan²(x)) 1.2/ Transformations remarquables sin(2 + x) = sin(x) cos(2 + x) = cos(x) tan(2 + x) = tan(x) sin( -x) = - sin(x) cos( -x) = cos(x) tan( -x) = - tan(x) sin( - x) = sin(x) cos( - x) = - cos(x) tan( - x) = -

Définition 2.2 La fonction tangente tan α sin α Soit α un réel non congru à sin α On pose tan α = . cos α π 2 α modulo π. cos α O Proposition 2.3 Ensemble de définition, périodicité et parité π La fonction tan est définie sur I = R \ + πZ . 2 Elle est π-périodique : ∀(α, k) ∈ I × Z, tan(α + kπ) = tan α La fonction tan est impaire. Angles usuels π 6 π 4 √ √ α 0 cos α 1 3 2 sin α 0 1 2 tan α 0 2 2 √ 2 2 √

R avec pour tout x ∈ R tan x cos x = − sin x et sin x = cos x. La variable x d´signe une mesure d’angle exprim´e e e en radians. Par ailleurs, la fonction cosinus est paire et la fonction sinus est impaire. On appelle fonction tangente la fonction not´e tan e d´finie sur R \ π + πZ par e 2 tan x = sin x cos x x cos x sin x Il s’agit d’une fonction impaire, π-p´riodique, ine finiment d´rivable sur R \ π + πZ et qui v´rifie e e 2 pour tout x ∈ − π , π 2 2 tan (x) = 1 = 1 + tan2 x. cos2