Tan-Tan

Fiche pratique FORMULAIRE de TRIGONOMETRIE CACHAN Geii1 Tableau des valeurs remarquables x sin(x) cos(x) tan(x) 0 0 1 0 π/ 6 1/ 2 π/ 4 π/ 3 π/ 2 1 0 Non déf 2 /2 2 /2 1 3 /2 1/ 2 3 /2 1/ 3 3 Relations fondamentales sin 2 ( x) + cos 2 ( x) = 1 1 + tan 2 ( x) = 1 cos 2 ( x) tan( x) = sin( x) 1 = cos( x ) cot an( x) 1 1 + cot an 2 ( x ) = sin 2 ( x ) Sommes & Produits sin( a + b) = sin( a ). cos( b) + sin( b). cos( a) sin( a − b ) = sin( a ). cos(b ) − sin( b). cos( a ) cos(

Expression de tan (α) l’angle qui permet d’atteindre le point Mlp Tan (α) sera de la forme (-b)/2a donc tan⁡( a) (〖2V〗_0^2)/((gx_lp)/2)=(2V_0^2)/(2gx_lp ) L’expression de tan(a) est : tan(a)= (2V_0^2)/(2gx_lp ) Calcul de tan(a) et tan(a), les 2 angles permettant d’attendre le point A. Nous allons utiliser la formule (-b±√∆)/2a car nous avons 2 solutions. 〖tan⁡(α〗_1)=(-(-(〖2V〗_0^2)/(gx_a ))-√∆)/2=(V_0^2)/(gx_a )-√∆/2= (V_0^2)/(gx_a )-√((4.V_0^4)/(g^2 x_a^2 )-(8.V_0^2

devoir est d’étudier la fonction tangente et d’en établir quelques propriétés. 1. Résoudre, sur ] − ; ], l’équation : cos x = 0. En déduire toutes les solutions, sur R, de cette équation. 2. On considère la fonction tangente, notée tan, et définie par : tan x = sin x cos x pour x 2 D où D = R \  2 +k, k 2 Z  On note C sa courbe représentative dans un repère orthogonal (O; #ı ; #| ). a. Étudier la parité de cette fonction. b. Démontrer que la fonction tangente est -périodique

sin b tan a tan a  b  1tan atan bb et tan a b  1tan atan bb (là où tout est défini) tan a tan tan a/Hommage aux grands ancètres: qui donnent: b/ cos 2x  cos 2 x sin 2 x  2 cos 2 x 1  1 2 sin 2 x , cos 3x  4 cos 3 x sin 2x  2 sin x cos x , sin 3x  3 sin x 4 sin 3 x x tan 3 tan 2x  12 tan 2 x , tan 3x  3 tan3xtan 2 x x (là où tout est défini) 1 tan (qui se généralise facilement à 3 cos x et tan nx  C 1 tanx C 3 tan 3 xC 5 tan 5 x .... n n n C 0 C 2 tan 2 xC 4 tan 4 x .

ABC = coté adjacent à ABC AB = BC hypoténuse tan ABC = AC coté opposé à ABC = coté adjacent à ABC AB Hypoténuse Côté opposé à ABC A Côté adjacent à ABC B Remarques : On peut prouver l’existence du sinus et de la tangente de la même façon qu’en quatrième. On avait alors utilisé le théorème de Thalès pour montrer l’existence du cosinus. On a aussi avec l’angle ACB : cos ACB = AC AB AB ; sin ACB = ; tan ACB = BC BC AC Il n’est pas toujours facile de retenir

12 [ 01837 ] [correction] Résoudre les équations suivantes : a) ex + e1−x = e + 1 √ b) x x Exercice 19 Simplifier √ = ( x)x 2 [ 01842 ] π 4. [correction] cos p − cos q sin p + sin q c) 22x − 3x−1/2 = 3x+1/2 − 22x−1 En déduire la valeur de tan Exercice 13 [ 01838 ] [correction] Résoudre les systèmes suivants : a) Exercice 14 Montrer [ 03438 ] 8x = 10y 2x = 5y b) ex e2y = a Exercice 20 Linéariser : 2xy = 1 [ 01843 ] [correction] a) cos2 x d) cos a cos b [correction] ∀x ∈ ]0, 1[

 , 25 6 − , 1500o et 7500o . III) Soit  l’arc tel que  0,  et 12 cos 13  = − . Calculer sin , tan , cot et ( ) 7 2cos sin 17 2 A     = − − − −    IV) Soit  l’arc tel que 3 , 2        et 23sin 1 0− = . Calculer sin , cos , tan et 13 cot 2   −    . V) Soit  l’arc tel que 3 , 2 2        et tan 2 = . Calculer sin , cos et ( )cot 145  − . VI) Réduire les expressions suivantes : 1) ( ) 3 sin cos

triangle AB D rectangle en B , on a AB = cos θ, donc AD AD = 4 π (car 0 ≤ θ < donc cos θ = 0) cos θ 2 BD = tan θ, donc B D = 4 tan θ et par suite C D = 7 + 4 tan θ AB distance Puisque temps = , on en conclut, après conversion des vitesses vitesse De plus (30 km/h = 30 000 m/h et 60 km/h = 60 000 m/h), t1 = 4 AD = 30 000 30 000 cos θ et t2 = CD 7 + 4 tan θ = 60 000 60 000 7 4 + 2 tan θ − 2 cos θ Montrer que le lapin aura traversé la route avant le passage du camion si et seulement si f (θ)

3 2 3 3 1 2 1 3 4 tan (x) 1 sin (x) + cos (x) = 1 2 2 Relations fondamentales : sin(x) 1 1-cos(2x) 1+cos(2x) tan(x) = = sin2(x) = cos2(x) = cos(x) cotan(x) 2 2 5 6 Addition : tan a + tan b sin (a + b) = sin a . cos b + sin b . cos a tan (a +b) = sin (a - b) = sin a . cos b - sin b . cos a 1 - tan a . tan b cos (a + b) = cos a . cos b – sin a .sin b tan a - tan b tan (a - b) = cos (a - b) = cos a . cos b + sin a .sin b 1 + tan a . tan b Multiplication : 1 sin a .cos

Formulaire de trigonométrie Définition des fonctions sinus, cosinus et tangente 1 M(x) sin(x) tan(x) cos(x) • M est un point du cercle trigonométrique. → − − −→ x est une mesure en radian de l’angle ( i , OM). cos(x) est l’abscisse de M, sin(x) est l’ordonnée de M. • Si x n’est pas de la forme 1 π + kπ, k ∈ Z, 2 sin(x) tan(x)= . cos(x) O • Pour tout réel x, cos2 (x) + sin2 (x) = 1. 1 π = 1 + tan2 (x). Si x n’est pas de la forme + kπ, k ∈ Z, 2 cos2 (x) Arcs associés Tour complet 1