Tangente

représentation graphique est en un seul morceau. Si la fonction est dérivable, sa représentation graphique admet une tangente en chacun de ses points. Un petit exemple : La fonction dont la représentation est ci-contre, est bien continue en a, car la courbe est en un seul morceau. A Par contre, la fonction n’est pas dérivable en a, car la représentation admet au point A deux demi-tangentes. On dit que la courbe admet un point anguleux O a La fonction valeur absolue x → | x | est continue

de symétrie D et le point A avec sa tangente. | | |Retrouver l’expression de f(x). | | Exercice 2 (3 points) |On a représenté une fonction f définie | | |sur et les tangentes à sa courbe C

fonction f définie sur IR. On sait que : − La droite ∆ d’équation y = 2 x + 4 est asymptote à la courbe C f en + ∞ . − La courbe C f admet une tangente parallèle à l’axe des abscisses aux points B(− 3,2) et C (− 1,−2 ) . − La droite d’équation y = 0 est asymptote à la courbe C f en − ∞ . − La courbe C f admet une demi tangente T et une demi tangente verticale au point A(− 4,−2 ) . 7 ∆ ζ T f B −4 −1 2 j O i −3 A C −2 4) Soit g la fonction définie sur IR par

dérivable sur l’intervalle [0 ; + ∞[ 1. f est la fonction racine carrée. L’expression de la dérivée de la fonction f est f ' ( x ) = 2 x Faux La courbe Cf admet une tangente 1 parallèle à la droite d’équation y = x − . 2 f ( x) = x − 1 2 + 1 x représentative. . La courbe Cf admet une tangente parallèle à la droite d’équation définie sur ] 0 ; + ∞ [ par 1 3 On note C f sa courbe y = 2 − 2 x au point d’abscisse 3 . L’expression de la dérivée de la x2 − 1 fonction

point a de I. Graphiquement cela signifie que sa courbe admet en chacun de ses points une tangente non parallèle à l’axe des ordonnées 1) Si on dispose de sa représentation graphique, Il suffit de regarder si sa courbe admet en chacun de ses points une tangente qui n’est pas parallèle à l’axe des ordonnées. Si la courbe admet un point anguleux, la fonction ne sera pas dérivable (existence de deux demi-tangentes de coefficients directeurs différents) FONCTIONS NON DERIVABLES FONCTION DERIVABLE

représentation  →  → graphique, dans un repère (O; i ; j ), est la courbe C ci-jointe. On note f’ sa fonction dérivée. Les points N(1 ; 4)et P(2 ; 3) appartiennent à la courbe C. La courbe C admet au point N une tangente parallèle à l’axe des abscisses. La droite D est la tangente à la courbe C au point P . 1. Donner f(1) ; f(2) ; f’(1) ; f’(2) 2. Résoudre graphiquement l’inéquation f’(x) < 0 3. Soit g la fonction définie sur l’intervalle [ 0 ; 4 ] par g(x) = 1 f(x) Calculer

Calcul de dérivées. 4. Équation de tangente et de droite normale. 5. Pente de tangente. 6. Équation de tangente. 4 7. Équation de tangente et de droite normale. 8. Équation de tangentes. 9. Équation de tangente et point d’intersection. 10. Calcul de dérivées successives. 11. Calcul de dérivées successives. 12. Taux de variation moyen et taux de variation instantané. 13. Dérivation implicite. 14. Équation de tangente et représentation graphique. 15. Dérivation

35 40 45 50 Quantité q 12000 IV. Déterminer la tangente à une courbe avec la dérivée : x2 3 − x − 2, (C ) 2 2 sa courbe représentative et M le point de (C ) d'abscisse 3. Donner l'équation de la tangente (T ) à (C ) au point M. • Solution : On calcule le nombre dérivé a = f ′(3) de la fonction f au point M d'abscisse 3. 3 3 3 f ′( x ) = x − ⇒ f ′(3) = 3 − ⇒ f ′(3) = = a . 2 2 2 a est le coefficient directeur de la tangente à (C ) au point M. • Exemple : soit f fonction définie

l’aide de la courbe représentative C d’une fonction définie sur l’intervalle [0 ; 3] vérifiant les conditions suivantes : € Š € Š 1.5 La courbe C passe par les points A 0 ; 2 et B 3 ; 0 ; 1 La courbe C admet en chacun des points A et B une tangente parallèle à l’axe des abscisses. 0.5 -1 -0.5 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 1. Partie I a. Soit f la fonction définie sur l’intervalle R par : 2 f (x) = − x2 + 2 3 Etudier les variations de la fonction f (on demande pas l’étude

dérivable en a et C sa courbe représentative. La tangente à C au point A(a ; f (a)) est la droite passant par A et de coefficient directeur f ' (a). Son équation est y= f ' (a)( x−a )+ f (a ) . Démonstration : Exemple :  Déterminer un nombre dérivé f ' (a) graphiquement Déterminer un nombre dérivé f ' (a) par le calcul ou en utilisant une calculatrice Tracer la tangente à la courbe représentant f au point d'abscisse a, connaissant f ' (a) Déterminer la tangente à la courbe représentant f connaissant l'expression