Tangente

stationnaires et vecteurs tangents. Dénition On dit que F (t0 ) est un point stationnaire si F (t0 ) = 0. jectoires correspondant à des solutions d'équations diérentielles. Lorsqu'on a F (t0 ) = (x (t0 ), y (t0 )) = 0 cela signie que la vitesse s'annule d'où l'origine du mot stationnaire. Remarque. L'étude des courbes paramétrées permet en particulier de décrire les tra- (on suppose qu'un tel p existe) alors le vecteur F (p) (t0 ) = (x(p) (t0 ), y (p) (t0 )) est un vecteur tangent à la courbe au

Dérivée d’un quotient – Équation d’une tangente – Problème d’optimisation Soit u et v deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle I . ' Inverse  1 v'  v  = − 2 v ' Quotient  u  u 'v − uv '  v  = v2 Si, pour tout x de I , v ( x ) ≠ 0. Soit A(a ; f (a )) un point situé sur la courbe représentative d’une fonction f . Le coefficient directeur de la tangente à cette courbe au point A est égal au nombre dérivé f '(a ). L’équation de la tangente en A est de la forme y = f '(a ) ×

x 3 + 2x 2 − x 3 f ( x) = ⎜1 − x + − + x ε ( x )⎟ ⎜ 2x − ( )⎟ ⎝ 2 6 ⎠⎝ 6 ⎠      e− x sin 2 x ⎛ ⎞ 8x 4 f ( x ) = ⎜ 2x −2x 2 + x 3 − + x 3ε ( x )⎟ − x 3 +2x 2 − x = x − x 3 + x 3ε ( x ) ⎝ 6 ⎠ 3 3 ( ) ( ) 4 2) Tangente en 0: y = x , ensuite f ( x ) − y = − x 3 (1 + ε1 ( x )) positif 3 localement à gauche 0, négatif à droite. Par conséquent, localement Cf est en au dessus puis en dessous de ∆: 3) Les solutions de E sont donc les u ( x ) = e− x ( λ cos ( 2x )

Exercice 1 1) f’(1) correspond au coefficient directeur de la tangente à la courbe C au point D (1 ; 2), mais qui admet une tangente G (0 ; - 4) au point D. donc f’(1) = (yD-yG)/( xD –xG) = (2+4)/(1-0) = 6/1 = 6 f’(1) = 6 f’(2) = 0 Car f’(2) correspond au point E (2 ; 6) qui lui admet une tangente horizontale donc sa dérivée est égale à zéro. 2) L’équation tangente est : y = f’(a) (x-a) + f(a) Au point D, donc a = 1 f’(1) = 6 et f(1) = 2 donc, y = f’(1) (x-1) + f(1) y = 6x - 6 +

asymptote oblique à la courbe[pic]en [pic]et en [pic] Préciser la position relative de [pic]et de Δ. 8. Déterminer [pic], puis dresser le tableau de variation de [pic]. 9. Déterminer une équation de la tangente ( T1 ) à ([pic] ) au point d’abscisse 1, puis une équation de la tangente ( T2 ) à ([pic] ) au point d’abscisse 3. Construire ([pic] ), ( T1 ), ( T2 ) dans le repère [pic] Exercice 2 On considère la fonction [pic] définie sur [pic] par :[pic] On note [pic]sa représentation

tout réel x. 2. Déterminer une équation de la tangente à Cj au point d’abscisse 1. 3. Donner l’approximation affine associée à j pour x proche de 1. En déduire une valeur approchée de j(1,1). Comparer avec la valeur exacte. Exercice 4 (3 points) Soit k déf. sur D = ]2 ;+ ¥[ par k(x) = 1. Calculer k ’(x) pour tout réel x de D. 2. Etudier le signe de k ’(x) et dresser le tableau de variation de la fonction k. 3. La courbe Ck admet-elle des tangentes horizontales ? Exercice 5 (0.5+2.5+1+2+1.5=7

Dérivation. 1. La tangente à une courbe en un point P, est la droite dont la position est la limite des positions des sécantes PQ quand Q se rapproche de P Pente de PQ=fx-f(a)x-a Pente de t =limx→afx-f(a)x-a 2. Comme t est la limite des positions des sécantes PQ quand Q se rapproche de P alors la pente de la tangente t est la limite de la pente de PQ quand Q se rapproche de P. 3. Soit une fonction f définie sur un intervalle ouvert I C R et a ∈ I le nombre dérivé de f en a ,noté

de symétrie pour la courbe [pic]. 3. Tracer la courbe [pic]. 4. Soit la droite [pic]. a) Déterminer par leurs équations les tangentes à [pic] parallèles à la droite D. b) Soit [pic], ou k une constante réelle . Discuter graphiquement le nombre de solution de l’équation f(x) = 5x + k . II. Soit la fonction g définie par : [pic]et [pic] sa courbe dans [pic]

+ 14 . c) Démontrer que l’équation g(x) = 0 admet une seule solution α dans R et donner la valeur de cette solution. d) En déduire le tableau des variations de f. 6) Tracer avec soin la courbe cf et la droite (d) dans (O ; i , j ) 7) Soit (t) la tangente à cf au point M0 d’abscisse x0 = 3. Donner une équation de (t) et tracer cette droite dans le repère précédent. 8) La droite (t) recoupe cf en un point M1. Evaluer les coordonnées de M1 et vérifier par le calcul que M1 est effectivement un point

courbe représentative dans un repère orthonormé O;i,j 1. Déterminer les limites de f aux bornes de son domaine de définition. 2. Etudier les variations de f et dresser son tableau de variations. 3. Déterminer une équation de la tangente (Δ) à (C) au point d’abscisse 2. 4. Tracer (C) et (Δ). 5. Déterminer nombre de solutions de l’équation fx=0. (Justifier clairement) Exercice 5 La fonction f est définie par fx=ax+b+cx+d où a, b, c et d sont des nombres réels. Son