Tangente

(x) pour x appartenant à l’intervalle [0 ; 6 ] et dresser le tableau de variation de la fonction f sur cet intervalle. 3. Compléter le tableau de valeurs suivant : x 0 1 2 3 4 5 6 f(x) 4. Déterminer l’équation de la tangente D à la courbe représentative de f au point d’abscisse 4. 5. Construire D et la courbe représentative de la fonction f sur l’intervalle [ 0 ; 6 ] dans un repère Echelle : en abscisse 1 cm pour 0,5 m en ordonnées 1 cm pour 1 m² 6. Déterminer

Q U ES Cor rigé DS du 20 sept 2011 E xercice 1 1. f(0) est donc f(0) = . de la tangente à la courbe c au point B. On lit -1. La tangente à c au point B a pour équation : 0) + f(0) En utilisant les résultats précédents, on obtient donc : y=-x+ 2. Equations et inéquations : a. f (x) = 0 : les solutions sont les abscisses des points de c axe des abscisses. S = {- 2 ; 1} b. x) = 0 : la courbe c admet 4 tangentes horizontales. Les solutions sont les abscisses des 4 points de tangence. S = {- - ;

dérivable en un un réel a de I, le coefficient directeur de la tangente est f '(a)L'équation de la tangente est donc de la forme :y =f '(a) x + p où p est un réel à déterminer.Le point de coordonnées(a;f(a))appartient à la tangente ( et aussi à la courbe représentative de la fonction f)Les coordonnées(a;f(a))vérifient donc l'équationy =f '(a)x + p ce qui permet de trouver le réelpf(a)=f '(a)a+ pp =f(a)-f '(a)aPar conséquent l'équation de la tangente est :y =f '(a)x +f(a)-f '(a)ace qui donne en mettant f

2. Déterminer une équation de la tangente à Cj au point d’abscisse 1. 3. Donner l’approximation affine associée à j pour x proche de 1. En déduire une valeur approchée de j(1,1). Comparer avec la valeur exacte. Exercice 4 (3 points) Soit k déf. sur D = ]2 ;+ [ par k(x) = 1. Calculer k ’(x) pour tout réel x de D. 2. Etudier le signe de k ’(x) et dresser le tableau de variation de la fonction k. 3. La courbe Ck admet-elle des tangentes horizontales ? Exercice 5 (0.5+2

point A(0 ; 5) § la tangente à (C) au point A est parallèle à l’axe des abscisses ; § la tangente à (C) au point B d’abscisse 1 a pour coefficient directeur – 3. Etudier les variations de la fonction f ainsi obtenue. Tracer (C). Soit f la fonction définie sur R- {2} par : f (x) = Exercice III. Soit h la fonction définie par h ( x ) = x 1 + ; Γ sa courbe représentative et ∆ 4 x2 x . 4 a) Etudier la fonction h , dresser son tableau de variation et préciser la tangente à Γ au point d’abscisse

matrice ainsi que le vecteur des points de contrôle qui la représente. Le vecteur se diffère d’un type de courbe à l’autre. Pour une courbe d’Hermite, ce vecteur est composée de la position du point de départ, du point d’arriver, de la tangente initiale ainsi que la tangente finale de la courbe tracée. Voici la matrice et le vecteur qui est utilisé pour la courbe d’Hermite : Dans le cas de la courbe B-Spline, le vecteur des points de contrôle est le même et donc seule la matrice diffère l’une de

la droite tangente à la courbe décrite par la fonction ( ) 2 f x = 2x − x en x = −2 est donnée par ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 0 0 2 0 2 0 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 lim lim 4 2 4 4 8 lim 6 lim 6 lim lim 6 6 x x x x x x f x f x x x x x x x x x x x x x x x D ® D ® D ® D ® D ® D ® − + D − −  − + D − − + D  −  − − −    = D D − + D −  − D + D  − −   = D D − D = D D − D = D = − D = © ERPI -10- La droite tangente passe par

(avec ), alors . • Donner un équivalent en de . Au voisinage de 0, on a : Donc D’où B) Dérivée, tangente, position d’une courbe par rapport à une tangente On suppose que f admet un DL à l’ordre au moins 2 en a : , où De ce DL, on tire : D’où l’équation de la tangente à C au point A d’abscisse a : La position de C par rapport à la tangente T est donnée par le signe de : Si : Donc est du signe de au voisinage de a. Si , et si on suppose de plus

points I et J, d’où : ( ) ( ( ) On résout le système suivant : { { { { { { ) ( ) ( ( ) ) . Or, on sait que cette droite doit La droite (IJ) a donc pour équation : D’autre part, la tangente à en J a pour équation : ( )( ) ( ) ( )( ( ) ) ( ) La tangente à Question 4.b : La tangente T à en J est bien la droite (IJ). en I a pour équation : ( ( )( )( ( ) ) ) ( ( ) ) Question 5 On étudie le signe de : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) On obtient ainsi le tableau de signe suivant

négative, la courbe décroit. Il s'agit bien d'un maximum. 6. 1 4  8 AS= 6   0= OM OA  0= 24 OM ' 18 Le point A correspond au paramètre t = 0. La tangente en A s'obtient en calculant Le vecteur Donc Partie B    0 OM ' .  AS  AS est colinéaire au vecteur tangent à la courbe en A est tangent à la courbe en A. O 0 ; 0 , E 0 ; a , F G 1 ;− 1.  3 2  tel que 4 ;−2 , A4 ; 0 3  1 = OM  OG  2   { x t = f 2 t =4