Theatre Vraisemblance

une variable x). system ! système d’ équations coef ! paramètres d’ une équation, exemple coef(2) estim (la dimension (2) est optionnelle ; par défaut, l’ objet créé est de taille 1 et contient des 0). logL ! log-vraisemblance utilisée pour estimer un modèle par maximum de vraisemblance model ! système d’ équations simultanées utilisé pour la prévision et la simulation var ! modèle VAR ou VECM 2.2 Dé…nition d’ objet un Une fois l’ objet déclaré, l’ opérateur peut en dé…nir le contenu: -

t−1 + Q L’erreur de pr´diction ν est d´finie comme : e e ′ νt = yt − zt at|t−1 (14) (15) (16) ′ νt iidN(0, σ 2 ft ) avec ft = zt Pt|t−1 zt + 1. La vraisemblance de l’erreur de pr´e diction s’´crit alors pour une observation : e 1 2πσ 2 ft −νt2 2σ 2 ft L(νt ) = exp (17) Le but est d’estimer σ 2 par maximum de vraisemblance. Lorsque a0|0 et P0|0 sont inconnus, a0|0 et P0|0 sont choisis arbitrairement, mais avec P0|0 grand. Dans ce cas, les NS premi`res observations ne sont pas

. . . . . . . . . . . . . . . . . e e e 3.2 Estimateur convergent . . . . . . . . . . . 3.3 Estimateur sans biais . . . . . . . . . . . . 3.4 Estimateur de variance minimum . . . . . 3.5 Une m´thode g´n´rale d’estimation : e e e le maximum de vraisemblance . . . . . . . 3.6 Une bricole sur le th´or`me central limit . e e 3.7 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.1 Estimation des param`tres d’une loi e 3.7.2 Estimation d’un pourcentage . . . . 4 Tests d’hypotheses 4.1 G´n´ralit´s . .

fonctions sont des densités de probabilité p(x,[pic] ) et l’on cherche à estimer la loi P(x) du générateur d’exemples (le professeur attribue les sorties y = x). On peut montrer alors que , en choisissant d’appliquer le principe de maximum de vraisemblance , minimiser le risque devient équivalent à rechercher parmi les densités potentielles , celle qui est la plus proche de la densité désirée , au sens de l’information de Kullback_Leibler. D(y,y*)=-ln p(x,[pic]) Revenons _a un formalisme uniforme_

par la Méthode du Maximum de Vraisemblance . . . . . . 26 2.1 Estimation par maximum de vraisemblance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.1.1 Matrices Hessiennes et Matrices d’information de Fischer . . . . . . . . . 28 2.1.2 Unicité du maximum global de la fonction de log-vraisemblance . . . . . . 30 2.2 Algorithmes de maximisation de la vraisemblance . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3 Propriétés Asymptotiques des Estimateurs du Maximum de Vraisemblance . . . . . . . 35 3.1 Convergence

023 II. P.023 P.023 P.023 P.024 P.024 P.025 P.027 Chapitre III Echantillonnage I. Définition A. Echantillon Théorique Aléatoire Probabilisé B. Echantillon Théorique ou Observé P.027 P.027 P.027 3 4 II. III. IV. C. Vraisemblance d’un échantillon D. Notation des caractéristiques théoriques et empiriques Variable d’échantillonnage A. Etude de B. Etude de C. Moment empirique non centré d’ordre Loi de probabilité de variable d’échantillonnage fondé sur l’hypothèse de normalité

estimateurs linéaires non biaisés à variance minimale c’est à dire efficace. (BLUE [ Best Linear Unbiased Estimators] ). Les estimateurs des moindres carrés sont les mêmes que ceux que l’on obtiendrait si l’on se servait de la méthode du maximum de vraisemblance en supposant que les erreurs théoriques sont normalement distribuées. Par calcul différentiel, on cherche les 2 valeurs b0 et b1 qui minimisent la somme des carrés des résidus, cette somme quadratique est notée f( b0 , b1), puisqu’elle est fonction

modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Estimation des paramètres du modèle . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Estimation par moindres carrés . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Estimation par maximum de vraisemblance . . . . . . . . . 2.3 Tests sur le modèle linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Tests sur les paramètres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Analyse de variance de la régression . . . . . . . . . . . . . 2.4 Prédiction

réels  Estimation des Paramètres Les paramètres du modèle GARCH peuvent être estimés selon différentes méthodes : maximum de vraisemblance, pseudo maximum de vraisemblance, méthode des moments etc. (pour plus de détails, voir Gouriéroux, 1997). Les méthodes généralement retenues sont celles du maximum de vraisemblance (MV) ou du pseudo maximum de vraisemblance (PMV). L’avantage du PMV réside dans le fait que l’estimateur obtenu converge malgré une mauvaise spécification (supposée normale)

les moments empirique sont approximativement égaux aux moments théoriques. Soit le système Solution du système est l’estimateur de obtenu par la méthode des moments. 2. La méthode du maximum de vraisemblance: Définition: Soit la valeur de qui maximise la fonction de vraisemblance vérifie : . On note est solution du système , alors l’EMV L est log L atteignent leur maximum (lorsqu’il existe) pour la même valeur fonction croissante). Pour faciliter les calculs, on utilise log