Theatre Vraisemblance

géométriques . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Représentation des variables . . . . . . . . . . 1.3.2 Le coefficient de détermination R2 . . . . . . 1.4 Cas d’erreurs gaussiennes . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Estimateurs du maximum de vraisemblance . 1.4.2 Rappels sur les lois usuelles . . . . . . . . . . 1.4.3 Lois des estimateurs et régions de confiance . 1.4.4 Prévision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Exercices

7) On pose dorénavant, toujours avec n supérieur ou égal à 2 : Z n = n . ∑ Yk k =1 On admet que Z n est une variable aléatoire définie, elle aussi, sur l'espace probabilisé (Ω, A, P). La suite ( Z n ) n≥2 est appelée estimateur du maximum de vraisemblance pour λ . On admet que la variable aléatoire n ∑Y k admet pour densité la fonction f n définie par : k =1  0 si t < 0  f n (t ) =  λ n n −1 −λ t si t ≥ 0  (n − 1)! t e  a) En remarquant que ∫ +∞ 0 f n −1 (t ) dt = 1 , montrer que Z

variance de ceux-ci. Le filtre de Kalman est donc optimal en ce sens qu’il est le meilleur estimateur dans la classe des estimateurs linéaires. Étape 3 : estimation des paramètres On recourt à la méthode du maximum de vraisemblance pour estimer les paramètres θ i . La fonction de vraisemblance est la suivante : l=− 1 1 υ2 log(ψ t ) − ∑ t ∑ 2 t 2 t ψt L’on passe au temps (t+1) et l’on refait cette procédure en trois étapes jusqu’à la période n. 3. Estimation de la volatilité stochastique à l’aide du

. . . . . . . . 3.2 Qualités d’un estimateur : . . . . . . . . . . . . . . . . 9 9 9 4 Estimation ponctuelle 12 4.1 Définition : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 4.2 Fonction de vraisemblance : . . . . . . . . . . . . . . 12 4.3 Estimation de maximum de vraisemblance(EMV) : 13 5 Estimation par intervalle 17 5.1 Introduction : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 5.2 Définition : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 5.3 Construction

maximum de vraisemblance. Comparaison avec les MCO La vraisemblance en économétrie est définie comme la probabilité d’observer un échantillon, étant donné les paramètres du processus ayant engendré les données. Si on observe un vecteur de variables aléatoires [pic] indépendantes et identiquement distribuées suivant une loi [pic], alors la probabilité de l’échantillon est le produit des probabilités associées à chaque variable :[pic]. L’estimation par la méthode du maximum de vraisemblance cherche

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 La r´gression lin´aire et ses probl`mes potentiels e e e 3.1.2 Notation vectorielle et matricielle . . . . . . . . 3.2 R´gression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 3.2.1 Maximum de vraisemblance . . . . . . . . . . . 3.2.2 Moindres carr´s (Least squares) . . . . . . . . . e 3.2.3 Erreurs de sp´cification . . . . . . . . . . . . . . e 3.2.4 Choix du mod`le . . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Comparaison des estimateurs . . . . . . . . . . . 4.3.1 Décomposition biais-variance du risque . . 4.3.2 Comparaison des variances des estimateurs 4.3.3 Efficacité d’un estimateur . . . . . . . . . 5 Méthodes d’estimation ponctuelle 5.1 Maximum de vraisemblance . . . . . . . . . 5.1.1 Définition et caractéristiques . . . . . 5.1.2 Quelques exemples . . . . . . . . . . 5.1.3 Propriétés à distance finie de l’EMV 5.1.4 Propriétés asymptotiques de l’EMV . 5.2 Méthode des moments . . . . . . . . . . . . 5.2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Méthodes d’estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Résultats généraux pour un échantillon . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Méthode du maximum de vraisemblance . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Notion de statistique exhaustive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Estimation par intervalle de confiance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 Cas général . . . . . . . . .

4). La dernière étape va consister à sélectionner les modèles au moyen de 4 critères de selection. En effet, ces critères sont base sur la mesure de l’écart entre la vraie loi inconnue, et le modèle estimée. Nous utilisons le critère de Log de vraisemblance qui est à maximiser, ainsi que le critère Hannan-Quinn (HQ) de Schwartz (SIC) et celui d’Akaike (AIC) Model log-likelihood SC HQ AIC | AR(1) 1769.6175 -5.6229

Statistiques en Finance a pour double objectif de dépasser la méthode des Moindres Carrés Ordinaires pour l’estimation des modèles de régression linéaire simple en familiarisant l’étudiant avec d’autres approches et notamment celle du maximum de vraisemblance ; ainsi que de découvrir la régression logistique, largement utilisée en Finance dans le cadre du credit scoring par exemple. Ce cours permettra d’approfondir les techniques de modélisation statistique étudiées en Licence et d’acquérir des réflexes