Théorème de Bernoulli

. . . . . . 40 40 40 41 41 43 43 45 47 50 54 57 58 58 58 58 59 59 59 59 60 61 64 66 67 67 70 70 70 72 72 75 78 78 80 81 86 3.3 3.4 3.5 3.6 4 Simulation 4.1 Simulation de variables al´atoires discr`tes . . . . . . . . . e e 4.1.1 Loi de Bernoulli de param`tre p ∈ [0, 1] . . . . . . . e 4.1.2 Loi binomiale de param`tres n ∈ N∗ et p ∈ [0, 1] . . e 4.1.3 Loi g´om´trique de param`tre p ∈]0, 1] . . . . . . . e e e 4.1.4 Simulation suivant une loi discr`te quelconque . . . e 4.2 Simulation de variables

historique En 1746, D'Alembert étudie l'équation des cordes vibrantes : 1 ∂2 y ∂2 y = c2 ∂t2 ∂x2 dont il donne les solutions sous la forme F(ct+x) + G(ct–x) où F et G sont arbitraires. (c est la vitesse de propagation de l'onde). Vers 1750, Daniel Bernoulli pensait que toute solution peut s'obtenir comme superposition d'une série d'harmoniques, par exemple y(x,t) = ∑ bn sin n=1 ∞ nct nx cos dans le cas l l où les deux extrémités de la corde sont fixées. Or dans le cas où la position initiale

probability Uniform convergence in probability Little o error notation Big O error notation Order symbols Asymptotic equivalence Convergence in Lp Almost sure convergence Convergence in distribution Central Limit Theorem for iid samples Central Limit Theorem for niid samples Slutsky’s Theorem Delta Method Parametric models . . . . . . . . . . . Parametric model Parameter Identification Identification in exponential families 7 Conditional homoscedasticity Regression model Linear regression model with

discrètes. Indépendance Lois discrètes usuelles finies Lois discrètes usuelles infinies Variables aléatoires continues Loi normale ou de Laplace-Gauss Lois dérivées de la loi normale Lois continues Simulation d’une expérience aléatoire Convergences. Théorèmes limites. Approximations Vecteurs aléatoires gaussiens 27 33 37 44 48 56 62 68 72 80 85 90 97 99 105 Mathématiques L1/L2 : statistiques et probabilités en 30 fiches Partie 3 : Statistique Fiche 20 Fiche 21 Fiche 22 Fiche 23 Fiche 24 Fiche

A ou B soient réalisés P(A B) = probabilité que A soit réalisé sachant que B est réalisé 7 Propriétés : P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) P(A ∩ B) = P(A B)P(B) = P(B A)P(A) Evènements indépendants : P(A ∩ B) = P(A)P(B) et P(A B) = P(A) Théorème de Bayes : On considère un événement A qui est la conséquence de plusieurs causes mutuellement exclusives C1, C2,… Cn. La probabilité que ce soit la cause Ck qui ait causé A vaut : P(Ck)P(A Ck) P(Ck A)= n ∑P(Ci)P(A Ci) i =1 Variable aléatoire

l’air sous pression qui s’échappe le fait partir dans tous les sens. Dans ce cas, le ballon se déplace selon une trajectoire désordonnée : l’avion, lui, est conçu de manière à ce que l’on puisse en contrôler la trajectoire et l’altitude. Loi de Bernoulli : L’air qui se déplace rapidement exerce moins de pression sur les surfaces que l’air qui se déplace plus lentement. Le dessus d’une aile d’avion étant bombée, sa surface est plus « longue » que le dessous qui est plat, donc l’air circule plus

Fonctions de forme 17 II.4 Règles de construction d’un maillage 18 III Formulation variationnelle • • • • • • • III.1 Equations locales du problème de mécanique 19 III.2 Formulation variationnelle en déplacement 21 III.3 Théorème de l’énergie potentielle 23 ii III.4 Notations de Voigt 25 III.4.1 III.4.2 III.4.3 III.4.4 III.4.5 III.4.6 Contraintes et déformations tridimensionnelles 25 Relation de comportement 26 Opérateur différentiel 26 Cas des contraintes

TABLE DES MATIÈRES 13 Conditionnement et indépendance 13.1 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.2 Probabilité conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . 13.2.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.2.2 Les trois théorèmes fondamentaux . . . . . 13.3 Événements indépendants . . . . . . . . . . . . . . 13.3.1 Indépendance de deux événements . . . . . 13.3.2 Indépendance d’une famille d’événements . 13.4 Annexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.4.1 Le

atteinte de la maladie (probabilité P = 0,1), ou bien elle n'est pas atteinte de la maladie (probabilité q = 0,9). Le fait de regarder si la personne est, ou non, atteinte de la maldie constitue une épreuve de Bernoulli. Si l'on répète pour les 10 personnes du groupe cette épreuve de Bernoulli, le nombre X de succès, c'est-à-dire le nombre de personnes atteintes de la maladie suit une loi binomiale B ( 10 ; 0,1 ) : k P ( X = k ) = C10 ( 0,1 )k ( 0,9 )10 − k. De cette loi binomiale, on tire : P

somme de la pression hydrostatique, de la pression due aux forces extérieures et de la pression hydrodynamique. Celle-ci a la même valeur en tous points pour un fluide en mouvement horizontal (incompressible de viscosité négligeable), c’est le théorème de Bernoulli. 5 Etude des capteurs de pression 5-1 Types de capteurs de pression Il existe trois types de mesures de pression : absolue, manométrique (ou effective) et différentielle. 3 1-1 Capteurs de pression absolue La mesure de pression absolue