Théorème de Bernoulli

depuis longtemps reconnus comme un peuple très cultivé. Leurs connaissances se manifestent dans l’architecture, avec pour preuve le patrimoine exceptionnel que cette civilisation nous a léguée, mais aussi en mathématiques avec comme exemple les théorèmes de Pythagore et de Thalès (Voir Annexes) qui sont encore enseignés de nos jours. Nous allons étudier les prouesses réalisées par le sculpteur Phidias (Voir Annexes) au sein du Parthénon. Puis, nous analyserons les notions qu’ Euclide a mises au point

An+1 = An + I E(Xn+1 − Xn | Fn ). 4.3. Th´or`me d’arrˆt. Soit (Xn )n≥0 une surmartingale. On a donc, pour m < n, I e e e E(Xn | Fm ) ≤ Xm p.s. On va s’int´resser ` cette propri´t´ si l’on remplace m et n par des temps d’arrˆt . e a ee e ´ ` Theoreme 4.6. Soient (Xn )n≥0 une martingale (resp. une surmartingale, une sous-martingale) int´grable ou positive et ν1 et ν2 deux temps d’arrˆt born´s avec ν1 ≤ ν2 ; alors on a I e e e E(Xν2 | Fν1 ) = Xν1 , (resp. ≤, ≥). Preuve: Supposons d’abord que ν1

variables un X(t; !) que nous écrirons souvent Xt (!). Dé…nition 1.6 A ! 2 …xé, la fonction X: (!) de t est appelée réalisation ou trajectoire du processus. A t …xé, la fonction Xt (:) de ! est une variable aléatoire. (sans i avant les ll) est l’ des 4 Bernoulli : le premier Jakob (suisse 1654-1705) francisé Jacques a travaillé un sur le calcul in…nitésimal, sur les probabilités, en particulier sur cette distribution et sur les fameux polynômes et nombres du même nom. Un second, Johan, francisé Jean (1667-1748)

3 Vrai : si la dérivée seconde s’annule en a en changeant de signe, alors la dérivée f ’ change de sens de variation en a . Donc le point d’abscisse a de la courbe f est un point d’inflexion de la courbe f . Vrai ou faux ? 1 Vrai : c’est le théorème du cours. 2 Vrai : si f” ( x ) 0 sur I , alors la fonction f’ est croissante sur I . Donc la fonction f est convexe sur I . © Hachette Livre 2012 - Déclic Mathématiques Term ES/L option - Livre du professeur La photocopie non autorisée est un

coordonnées de A sont – ; – 2 , celles de B sont (1 ; 3) 2 1 1 et celles du milieu de [AB] sont – ; . 4 2 1 La droite d coupe les axes en C – ; 0 et D(0 ; 1). 2 Le milieu de [CD] est bien celui de [AB]. (E) 2x + 1 = ΂ ΃ ΂ ΂ ΃ ΃ 104 1. Appliquons le théorème de Thalès : MN BM 4–x x = , donc MN = 2 × =2– ; AS AB 4 2 MQ AM = , donc MQ = x (AMQ est aussi équilatéral…). BC AB x2 Aire(MNPQ) = MN × MQ = – = 2x. 2 4 x2 2. – + 2x = ‹ – 3x2 + 12x – 8 = 0. 3 2 6 + 213 6 – 213 5 3,155 et x2 = 5 0,845. 6 = 48 ;

globule de désir indépendant, comme auparavant » (Th. Veblen 1898). 2 Dont on apprendra que, là encore, au moins dans la version de Von Neuman et Morgenstern (1947), elle rejoint la contribution d’un mathématicien du XVIII ème siècle, Daniel Bernoulli. 3 Voir, par exemple, P.L. Gardiner 1963. André Lapidus – La rationalité du choix passionnel : l’héritage de David Hume 27.04.2000 2 controverses sur la théorie du choix, mais à dégager, dans l’œuvre d’un auteur du XVIIIème siècle, les éléments

bouée est de s'assurer une flottabilité nulle à n'importe quelle profondeur Formulation du théorème d'Archimède Tout corps plongé dans un fluide au repos, entièrement mouillé par celui-ci ou traversant sa surface libre, subit une force verticale, dirigée de bas en haut et opposée au poids du volume de fluide déplacé ; cette force est appelée « poussée d'Archimède ». Pour que le théorème s'applique il faut que le fluide immergeant et le corps immergé soient au repos. Il faut également

. . . . . 1 1 4 5 7 8 10 10 11 11 CHAPITRE II. Fonctions holomorphes II.1. Définition et propriétés fondamentales . . . . . . . . . II.2. Premières propriétés des fonctions holomorphes . . . . II.3. Séries de Laurent et Théorème de l’application ouverte . II.4. Le Théorème de Phragmen-Lindelöf . . . . . . . . . . . Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 6.2 Ergodicité géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 6.2.1 Ergodicité uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 5 7 Fonctionnelles additives : théorème de la limite centrale 145 8 Critères de dérive 167 7.1 Approche par renouvellement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 7.2 Approche par les martingales et l'équation de Poisson . . . . . . . . 158 7.3 Calculs asymptotiques

composition peut évoluer dans l’année afin de préparer au mieux les écoles « parisiennes ». Les DL sont obligatoires pour tous. Les DL* ne sont obligatoires que pour les élèves du groupe *. 5. Les questions de cours en colle (élèves et colleurs) : Les théorèmes et autres propositions dont les démonstrations sont au programme de colle sont libellés par (QC) ou bien par (QC*). Les questions (QC*) peuvent être proposées aux élèves du groupe * mais pas aux autres élèves. En colle, il doit toujours y avoir en