Théorème de Bernoulli

- +∞ - Var (cX ) = c ²Var ( X ) où c est une constante réelle Var ( X + Y ) = Var ( X ) + Var (Y ) + 2Cov( X , Y ) o o Cov( X , Y ) = 0 si X et Y sont indépendantes Cov( X , Y ) = σ XY = E [X − E ( X )]× E [Y − E (Y )] Loi de Bernoulli B(p) C’est la loi de la variable X qui indique si le résultat d’une épreuve est un échec ou un succès (par exemple : jouer à pile ou face). P( X =1)= p et P( X =0)=1− p Loi de probabilité : Espérance : E(X)= p Variance : Var(X)= p(1− p) Loi binomiale

matières 1 Équations de conservation 1.1 Théorèmes de transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 1.1.2 1.1.3 1.1.4 1.2 1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.3 1.3.1 1.3.2 1.3.3 1.3.4 Théorème de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Conservation de la masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Conservation de la quantité de mouvement . . . . . . . . . . . . . . . Conservation de l’énergie, théorème de Bernoulli . . . . . . . . . . . . Forme générique

parmi n, toute suite ordonnée de p éléments di¤érents formée à partir des n éléments de E: Exemple 2. Soit E = fa; b; c; dg : Les di¤érents arrangements de 2 éléments pris parmi les 4 éléments sont : ab ac ad ba bc bd ca cb cd da db dc. Il y en a 12. Théorème 1 : Le nombre d’ arrangements de p éléments pris parmi n, noté Ap , est donné n par : Ap = n n! (n p)! où n! = 1 2 ::: n et par convention on pose 0! = 1 Exemple 3. A2 est le nombre d’ arrangements de 2 éléments pris parmi 4

comprendre intuitivement, contrairement au poids et à la traînée. Il existe plusieurs versions différentes de la portance qui s’appliquent sur des théorèmes et lois physiques différentes, mais une seule est applicable et compréhensible selon certains phénomènes et paramètres, elle s’appuie sur la principe de Bernouilli. Le principe de Bernoulli, qui amène des calculs très compliqués démontre que d’après la forme de la tranche de l’aile, il se crée une dépression et l’aile alors est soumise à

2 n n P k=1 xk = n? (Inégalité entre la moyenne arithmétique et la moyenne géométrique de n nombres positifs). Exercise 2.2.6 Montrer que n! < ; 8n 2 N, où n! = 1:2:3: : : : :n: 1 Exercise 2.2.7 Montrer que (1 + x)n (Inégalité de Bernoulli). 1 + nx 8n 2 N et pour tout nombre x Pour tout nombre x (réel ou complexe) et tout entier relatif positif k, l’ expression suivante : x (x 1) : : : (x k + 1) k! est appelée coe¢ cient binomial que l’ note par x . On écrit on k x x x (x 1)

mathématiques qui y sont présentées sont essentiellement géométriques et sans démonstration. On ignore s'il s'agit de la seule activité mathématique de cette époque ou seulement les traces d'une activité plus générale. Les Indiens connaissaient le théorème de Pythagore, savaient construire de manière exacte la quadrature d'un rectangle (construction d'un carré de même aire) et de manière approchée celle du cercle. On voit apparaître aussi des approximations fractionnaires de π et de racine carrée de

de temps précédent pour définir certaines fonctions. L’enchaînement du calcul des variables est représenté Figure 6. On évalue les différents termes flux, pour déterminer les débits sortants par des ouvertures verticales nous utilisons le théorème de Bernoulli ainsi que les relations générales de Navier-Stokes Figure 5 : boucle pour le modèle physique. (e.g., Curtat 2002). Le débit calorifique produit ainsi que les paramètres du foyer nous permettent de déterminer le débit de fumées entraîné par

étudierons au cours de ce chapitre les lois de probabilités les plus courantes qui vont nous permettre la description d'un phénomène aléatoire déterminé. Nous présenterons ainsi la loi de Bernoulli, la loi binomiale, la loi hypergéométrique, et la loi de poisson. II. LOI DE BERNOULLI La loi de Bernoulli intervient dans le cas d'une seule expérience aléatoire à laquelle on associe un événement aléatoire quelconque. La réalisation de l'événement au cours de cette expérience est appelée succès

Nous étudierons au cours de ce chapitre les lois de probabilités les plus courantes qui vont nous permettre la description d'un phénomène aléatoire déterminé. Nous présenterons ainsi la loi de Bernoulli, la loi binomiale, la loi hypergéométrique, et la loi de poisson. II. LOI DE BERNOULLI La loi de Bernoulli intervient dans le cas d'une seule expérience aléatoire à laquelle on associe un événement aléatoire quelconque. La réalisation de l'événement au cours de cette expérience est appelée succès

. . . . . . . . . . . . . . Modèle probabiliste . . . . . . . . . . Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . Probabilité conditionnelle . . . . . . Un nouvel Univers . . . . . . . . . . . Exemple: fausse alarme . . . . . . . Théorème de probabilité totale . . Théorème de Bayes . . . . . . . . . . Inférence bayésienne . . . . . . . . . Indépendance . . . . . . . . . . . . . . Quelques stratégies . . . . . . . . . . Compter = multiplier. . . . . . . . . . . . ou diviser! . . . . . . . . . . . .