Théorème de la bijection

géométrie, l'analyse et les probabilités. Ils tendent à comprendre de manière qualitative ce qui s'assimile à une loi d'évolution. Les objets étudiés relèvent de l'analyse (équations différentielles par exemple), des probabilités (itération d'une bijection mesurable), ou de la géométrie (espaces homogènes). Le traitement qui y est consacré fait l'objet d'interprétations essentiellement de nature géométrique, tout en utilisant des outils avancés d'analyse fonctionnelle, de théorie des processus, de

application linéaire de E dans E. Notation : l’ensemble des endomorphismes de E se note L(E). Un isomorphisme de E dans F est une application linéaire bijective de E dans F. Propriétés : On dit que les espaces E et F sont isomorphes ; la bijection réciproque f^(-1) est un isomorphisme de F dans E ; 2 e.v. isomorphes sont de même dimension(dim⁡E=dim⁡F). Un automorphisme est un endomorphisme (application linéaire) bijectif de E. Notation : l’ensemble des automorphismes de E se note GL(E)

strictement décroissante sur [0 ; 1]. On a f(0) = 1[pic]1 = 1 et f(1) = 0[pic](741 + 38 + 1) = 0. f est dérivable sur [0 ; 1] d’où continue sur [0 ; 1] et strictement décroissante sur [0 ; 1], elle réalise une bijection de [0 ; 1] sur [0 ; 1] et 0,01[pic][0 ; 1]. Donc d’après le théorème de bijection l’équation f(x) = 0,01 a une une unique solution x0 dans l’intervalle [0 ; 1]. Déterminer l’entier naturel n tel que : [pic]< x0 < [pic]. (0,5 pt) f(0,19)[pic]0,116 et f(0,20)[pic]0,007 ; on

dans 2 l’intervalle ] −∞ ; ]. e 2 De plus, 1,05 ∈ ] −∞ ; ]. e Donc, d’après le théorème de la bijection, l’équation (x) = 1,05 admet une unique solution x1 sur l’intervalle ]0 ; e ]. Avec la calculatrice, on trouve : x1 = 1,056 à 10−3 près par excès. Sur [ e ; +∞[, la fonction est continue et strictement décroissante et à valeurs dans ]0 ; 2 ]. e 2 ]. e Donc, d’après le théorème de la bijection, l’équation (x) = 1,05 admet une unique solution x2 sur l’intervalle [ e ; +∞[. Avec

toujours être rangées en ordre croissant. Théorème : Soit D un domaine borné de .Alors toute fonction continue est intégrable au sens de Riemann. Analyse03/A-U :2014-2015 Page 2 2. Propriétés des intégrales doubles :  L’intégrale double sur un domaine D est linéaire :  Si D et D’ sont deux domaines tels que  Si en tout point de D, avec f non identiquement nulle, alors strictement positive.  Si , alors : est .  3. Formules de Fubini : Théorème 01: Soit f une fonction continue sur un

déduire que[pic] c) Montrer alors que F est dérivable à droite en 0 et que F’d (0)= - 1. 2) a) Montrer que[pic]. b) En déduire que : 0[pic]. 3) Montrer que F est dérivable sur[pic]et calculer F’(x)[pic]. 4) a) Montrer que F réalise une bijection de[pic]. b) Etudier la dérivabilité de F -1 sur[pic] . EXERCICE N°4 : Soit f et g feux fonctions définies sur[pic] n désigne un entier naturel supérieur ou égale à 2. 1/ a) Montrer que[pic]. b) Démontrons que[pic]. 2/ On pose S[pic]

Cas d'une parabole 3.2.3 Tangente a une ellipse ou une parabole 3.2.4 Points d'ou l'on mène une tangente 3.3. Foyers et directrices 3.4. Propriétés bifocales 3.5 Engendrement de coniques à l'aide de cercles 3.6 Coniques et cônes de révolution : le théorème d'Apollonius Cours du 19/09/06 ================= 1. Géométrie affine - - - - - - - - - - 1.1 Espaces affines - - - - - - - - - - - Définition d'un espace affine. Notations comme chez Liret-Martinais: $(\mathcal{E}, E, \alpha)$. - Exemples

Si A admet un plus grand élément, alors c'est la borne supérieure de A. Si A admet un plus petit élément, alors c'est la borne inférieure de A. • Théorème d'existence Toute partie non vide et majorée (resp. minorée) de R admet une borne supérieure (resp. inférieure). 3.3 Droite numérique achevée Pour ne pas avoir de restriction dans le théorème précédent, on considère un nouvel ensemble noté R obtenu à partir de R par l'adjonction de deux éléments notés −∞ et +∞ . On prolonge à R la relation

i ◦ f ◦ s où i est l’injection canonique de im(f ) dans F , f : E/Rf → im(f ) la bijection canonique et s la surjection canonique de E sur E/Rf . – Partitionner E = i∈I ωi où (ωi )i∈I est la famille canoniquement associée à E/R. Curiosités – – – – – – La théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel-Skolem avec l’axiome du choix (ZFC). Les axiomes de Peano. Indécidabilité et théorèmes d’incomplétude de Gödel. Le théorème de Cantor : il n’existe pas de surjection de E sur P(E). Le lemme de Kuratowski-Zorn

Exercice IV (6 points). Partie A : Restitutions Organisées de Connaissances. On rappelle le théorème des valeurs intermédiaires : Soient a et b deux réels tels que a < b et f une fonction continue sur l’intervalle [a ;b]. Alors pour tout réel k entre f ( a ) et f ( b ), l’équation f (x) = k admet au moins une solution sur [a ; b]. Enoncer et démontrer le théorème de la bijection dans le cas d’une fonction f strictement croissante sur l’intervalle [a ; b]. Partie B