Théorème de la bijection

29 septembre 2013 à 15:48 Continuité et dérivabilité d’une fonction Table des matières 1 Continuité d’une fonction 1.1 Limite finie en un point . . . . . . 1.2 Continuité en un point . . . . . . 1.3 Continuité des fonctions usuelles 1.4 Théorème du point fixe . . . . . . 1.5 Continuité et dérivabilité . . . . . 1.6 Continuité et équation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

QUELQUES THEOREMES D'ANALYSE ELEMENTAIRE LIAISON LYCEE - UNIVERSITE LEIBNIZ Gottfried Wilhelm , 1646-1716 Daubelcour Jean-Pierre IREM de Lille 1 SOMMAIRE PREFACE CHAPITRE I : LES NOMBRES REELS COMME DEVOPPEMENT DECIMAL ILLIMITE. CHAPITRE II : LIMITES DE SUITES ET DE FONCTIONS . CHAPITRE III : CONTINUITE D'UNE FONCTION DE LA VARIABLE REELLE. CHAPITRE IV : PROPRIETES DES FONCTIONS CONTINUES SUR UN INTERVALLE DE R. ( La dichotomie : outil de calcul et de démonstration) CHAPITRE V : COMPLEMENTS

e Une d´finition pr´cise le sens math´matique d’un mot ; par exemple : e e e D´finition: Un ensemble E est fini si il n’est pas en bijection avec lui-mˆme priv´ d’un e e e ´lement. Un ensemble est infini si il n’est pas fini. e On voit tout de suite deux difficult´s avec cet exemple : d’abord il faut avoir d´fini e e “ensemble” (ce que nous ne ferons pas) et “ˆtre en bijection” (ce qu’on fera au chapitre e suivant) pour que la d´finition ait un sens ; ensuite il n’est pas imm´diat que la d´finition e e e donn´e

limite. Exercice 9 : Soit fx=-1+x1-x2 ; x∈ -1, 1. A/ 1/ a- Etudier les variations de f. b- Montrer que l’équation fx=x admet dans -1, 1 une unique solution α et que α>45 c- Déduire le signe de f(x)-x. 2/ Déduire que f réalise une bijection de -1, 1 sur un intervalle J que l’on précisera. 3/ Construire dans un repère orthonormé les courbes l et l' respectivement de f et f-1 . 4/ Expliciter f-1x , x∈J. 5/ Soit u la suite définie sur IN par u0∈0,α et un+1=f-1un. a- Montrer

Limites, continuité dérivabilité Pascal Lainé 1 Limite, continuité, théorème des valeurs intermédiaires, dérivabilité, théorèmes de Rolle et des accroissements finis I Limites Continuités Exercice 1 : Soit 𝑓 : ]−1,+∞[ → ℝ la fonction définie par : 𝑓(𝑥) = 𝑥 √1 + 𝑥2 − √1 + 𝑥 Déterminer les limites de 𝑓, si elle existent, en 0 et en +∞. Allez à : Correction exercice 1 : Exercice 2 : Soit 𝑓 : ℝ∗ → ℝ la fonction

[correction] Soient f : I → R et g : I → R deux fonctions continues telles que Exercice 16 [ 00240 ] [correction] Etudier la continuité de la fonction xn n∈N n! f : x → sup ∀x ∈ I, |f (x)| = |g(x)| = 0 Montrer que f = g ou f = −g. définie sur R+ . Théorème des valeurs intérmédiaires Exercice 24 [ 01809 ] [correction] Soit f : [0, +∞[ → R continue. On suppose que |f | −−→ +∞. Montrer que +∞ f −−→ +∞ ou f −−→ −∞. +∞ Exercice 17 [ 01803 ] [correction] Soit f : R → R continue telle que lim f = −1 et

Continuité 1 Dé…nitions et propriétés algébriques 2 Prolongement par continuité . . . . . 3 Propriétés des fonctions continues . . 4 Bijections . . . . . . . . . . . . . . . 12 Dérivabilité et fonctions de classe 1 Généralités . . . . . . . . . . . . 2 Règles de calculs . . . . . . . . . 3 Fonctions monotones . . . . . . . 4 Prolongement . . . . . . . . . . . 5 Théorème des accroissement …nis 6 Convexité . . . . . . . . . . . . . 13 Lois discrètes …nies 1 Loi uniforme . . . . . 2 Schéma de Bernouilli

Soit n un entier naturel non nul. Dénition On note Sn l'ensemble des permutations de l'ensemble {1, ... ,n} c'est à dire l'ensemble des bijections de {1, ... ,n} vers {1, ... ,n}. Proposition 1.0.1 (Sn ,◦) est un groupe. Démonstration L'identité est une permutation de {1, ... ,n} donc Sn n'est pas vide. La composée de deux bijections est une bijection donc on a une loi interne. La composition est clairement associative. L'identité est l'élément neutre pour la composition. Enn, tout élément

intégrales généralisées) sont exposés progressivement et illustrés par de nombreux exemples. Pour l’algèbre linéaire, la difficulté est d’une part technique (recherche des valeurs propres et vecteurs propres), et d’autre part théorique (utilisation des théorèmes abstraits du cours dans des situations diverses). On s’est efforcé de bien cerner les difficultés et ici aussi de donner suffisamment de variété dans les exemples. En probabilités, on a choisi de traiter dans trois chapitres différents les problèmes

s’éliminer avec le développement limité du cosinus. Exercice 6 - Astucieux ! - L1/Math Sup - ?? ex = P100 k=1 xk k! + o(x100). Exercice 7 - Développement limité d’une fonction réciproque - L1/Math Sup - ?? 1. Calculer f0 et appliquer les théorèmes du cours. 2. f est impaire. 3. Écrire f−1(x) = a1x + a3x3 + a5x5 et utiliser que f  f−1(x) = x en composant les développements limités. Exercice 8 - Développement limité d’une fonction réciproque - L1/Math Sup/Oral Mines - ?? Posons g = f−1(x)