Théorème de la bijection

valeur 1 en 0. y doit être définie sur un intervalle I contenant 0 , le plus grand possible. Propriété 1: S'il existe une fonction f dérivable sur ¡ telle que f ' = f et f(0) = 1 , alors f ne s'annule pas sur ¡ . Indication : poser h(x) = f(x) ´ f(-x) Théorème 1: Il existe une et une seule fonction f dérivable sur ¡ telle que f ' = f et f(0)=1 II ] La fonction exponentielle 1. Définition 2 : On appelle fonction exponentielle , l'unique fonction f dérivable sur ¡ , telle que f ' = f et f(0)=1.

de Taylor–Young : Exercice : Soit . Montrer que f est une bijection de R dans R dont la réciproque est de classe . Déterminer . Déjà f est bijective, de classe et de dérivée ne s’annulant pas. Donc est de classe . Comme est de classe , elle admet un DL à l’ordre 3 en 0 : , et . Pour tout réel x, on a : d’une part. et Soit Donc Donc Donc III Primitive, dérivée A) Primitive Théorème : Soit , admettant un DL à l’ordre n en a. Si f admet une primitive

plus importante est le changement de variable. Théorème 13.4.1 Soit une fonction continue sur et une fonction dérivable, de dérivée continue sur et monotone (la dérivée ne s'annule pas). Alors : Il est fortement déconseillé de retenir la formule par coeur. Un changement de variable doit se penser de la manière suivante. Je souhaite remplacer par . J'exprime en fonction de : (je m'assure que est bien une bijection). J'exprime en fonction de et en dérivant l'expression

un encadrement de d’amplitude 10 – 2 . La fonction f est dérivable sur [0 ;1] d’où continue sur [0 ;1] et elle est strictement croissante sur [0 ; 1]. De plus f(0) = 0 et f(1) = ln 2 0,7 d’où 0,25[f(0) ; f(1)]. On en déduit, d’après le théorème de la bijection, que l’équation f(x) = 0,25 admet une unique solution dans [0 ; 1]. Par la méthode de balayage, avec la calculatrice, on obtient : 0,56 < < 0,57 car f(0,56) 0,249 et f(0,57) 0,257. Partie B : étude d’une suite La suite (un) est

au premier des 23 problèmes du programme de Hilbert en démontrant l’indécidabilité de la question suivante : Peut-on prouver l’hypothèse du continu de Cantor ? L’existence comme la non-existence d’un sous-ensemble des réels pouvant être mis en bijection avec l’ensemble des entiers ou des réels lui-même est donc indécidable. b) L’argument ontologique quant à la preuve d’une existence divine Durant la seconde moitié de sa vie, Gödel a développé de fortes idées philosophiques et s’est décidé

: p pn = k =1 k C p S ( n, k ) D'après la formule d'inversion de Pascal, on déduit : p S(n, p) = k =1 k ( −1) p − k C p k n toute bijection de X n'ayant aucun point fixe) £ £ Soit Bk(X) l'ensemble des bijections de X ayant k points fixes (pour 0 On a : n Card(Bk(X)) = Cn − k dn−k k n) n En effet, une bijection de X ayant k points fixes dérange n − k éléments de X. Or, il y a Cn − k façons de choisir les n − k éléments dérangés et dn−k dérangements de l'ensemble

d’ordre n. Alors • pour tout entier naturel n, S = Sn + Rn ; • de plus lim Rn = 0. n→+∞ Preuve Immédiate. K 1.2 Premières propriétés Le résultat suivant, bien que très simple, donne une très importante condition nécessaire de convergence. Théorème 1 Soit (an ) une suite numérique. Si la série Attention ! la réciproque est fausse. Preuve Puisque la suite des sommes partielles (Sn ) est convergente, de limite S, n→ + ∞ an est convergente, alors lim an = 0. n→+∞ lim Sn − Sn−1 = S − S

à dire : Par une isométrie, – Les images de deux droites // sont deux droites //. – Les images de deux droites  sont deux droites  . Th 5 : Toute isométrie transforme un repère orthonormé en un repère orthonormé. Th 6 : Toute isométrie est une bijection et sa réciproque est une isométrie. Th 7 : Toute isométrie conserve le barycentre de deux points pondérés en particulier le milieux. Th 8 : L’image d’un cercle C(O, R ) par une isométrie f est un cercle C ' de centre O'  f (O) et de même rayon R

f’(0) L’existence de fonctions f vérifiant ces propriétés est admise. On s’intéresse au cas où k = 1 pour lequel l’utilisation de la méthode d’Euler nous persuade qu’une telle fonction existe. I La fonction exponentielle (de base e) 1° Théorème 1 Il existe une unique fonction f non nulle, définie et dérivable sur R telle que : f ‘= f et f(0)= 1. Cette fonction est la fonction exponentielle notée : exp On a donc : exp’ = exp et exp(0) = 1 Remarques : • La fonction exp est

continuité d’une fonction Exercice 7 : étudier la continuité d’une fonction composée Exercice 8 : utiliser le théorème des valeurs intermédiaires (fonction continue sur un intervalle) Exercice 9 : utiliser le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (fonction continue strictement monotone sur un intervalle) Exercice 10 : étudier la continuité d’une fonction en utilisant le théorème des gendarmes Exercice 11 : écrire un algorithme d’encadrement par dichotomie Accès direct au site www