Théorème de la bijection

l’usager de vérifier les informations données par comparaison à la littérature existante. SPIN : 11747024 Couverture : Jean-François Montmarché Préface Paul Erd˝ s aimait parler du Grand Livre, dans lequel Dieu inscrit les preuves o parfaites des théorèmes mathématiques, suivant ainsi la remarque de Hardy : il n’y a pas de lieu permanent pour les mathématiques laides. Erd˝ s disait o aussi que l’on n’a pas besoin de croire en Dieu, mais qu’en tant que mathématicien, on doit croire au Grand Livre. Il

f ◦ (g ◦ h) et ( f ◦ g) ◦ h. 4. Pour la fonction f : R → R définie par x → x2 représenter et calculer les ensembles suivants : f ([0, 1[), f (R), f (] − 1, 2[), f −1 ([1, 2[), f −1 ([−1, 1]), f −1 ({3}), f −1 (R \ N). 3. Injection, surjection, bijection 3.1. Injection, surjection Soit E, F deux ensembles et f : E → F une application. Définition 3 f est injective si pour tout x, x ∈ E avec f (x) = f (x ) alors x = x . Autrement dit : ∀ x, x ∈ E f (x) = f (x ) =⇒ x = x Définition 4 f est surjective

logarithme naturel de x est la puissance à laquelle il faut élever e pour trouver x. On peut en effet définir cette fonction comme la primitive sur ]0,+∞[ et qui s'annule en 1 de la fonction inverse f(x)=\displaystyle \dfrac{1}{x}, et en déduire que sa bijection réciproque est la fonction exponentielle. Cette fonction est notée l. ou l, en tout cas dès le début du XVIIIe siècle1, et jusque dans la première moitié du XIXe siècle2, puis log.3 ou log4 dès la fin du XVIIIe siècle, puis Log pour la différencier

Restriction et prolongement . . . . . . . . . . . . . 1.4.5 Image directe d’une partie par une application . . 1.4.6 Image réciproque d’une partie par une application 1.4.7 Composition d’applications . . . . . . . . . . . . . Injections, surjections, bijections . . . . . . . . . . 1.5.1 Applications injectives . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.2 Applications surjectives . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.3 Applications bijectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.4 Les anneaux quotients 37 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 38 39 41 42 Z/nZ Théorèmes de Fermat et d'Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Systèmes de congruences. Théorème chinois 3.3.1 Retour à l'indicatrice d'Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Application à la cryptographie, l'algorithme RSA 4 La division euclidienne dans l'algèbre K[X]

équivalent de y au voisinage de b. possède une solution maximale unique. b) Montrer que celle-ci est impaire et strictement croissante. c) Etablir enfin qu’elle est définie sur R. d) Déterminer la limite en +∞ de cette solution. e) On note ϕ la bijection réciproque de cette solution. Exprimer ϕ à l’aide d’une intégrale en formant une équation différentielle vérifiée par cette fonction. Exercice 7 [ 00437 ] [correction] On considère l’équation différentielle Exercice 3 [ 00432 ] [correction]

intégrales généralisées) sont exposés progressivement et illustrés par de nombreux exemples. Pour l’algèbre linéaire, la difficulté est d’une part technique (recherche des valeurs propres et vecteurs propres), et d’autre part théorique (utilisation des théorèmes abstraits du cours dans des situations diverses). On s’est efforcé de bien cerner les difficultés et ici aussi de donner suffisamment de variété dans les exemples. En probabilités, on a choisi de traiter dans trois chapitres différents les problèmes

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 6.12. Injections, surjections, bijections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 Restreindre une fonction pour la rendre injective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 6.13. Fonction réciproque . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3 Injection, surjection, bijection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 4 Ensembles finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 5 Relation d’équivalence

tableau de variations de k sur DE. b) Déterminer le point d’intersection de la courbe de k avec l’axe des abscisses et préciser le signe de k. (0,5 pt) 3) a) Montrer que k réalise une bijection de ]0, +∞[ sur un intervalle J à préciser. (0,5 pt) C k) et (C C k-1), C k-1 est la courbe représentative de la bijection c) Construire les courbes (C -1 réciproque k de k dans un repère orthonormé ; unité graphique : 1 cm (01 pt) Tracer la courbe de g dans le repère précédent. (0,5 pt) MATHEMATIQUES