Théorème des nombres premiers

Les nombres complexes 1 0.1 L’ensemble des nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0.1.1 Opérations sur les nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0.1.2 Valeur absolue (ou module) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0.2 Représentation graphique des nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0.2.1 Courbes dans le plan complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 0.3 Forme polaire des nombres complexes

existe un nombre M supérieur à tous les termes de la suite est dite majorée et le nombre M est un majorant de la suite. d) Toute suite croissante et majorée est convergente. e) Toute suite décroissante non minorée a pour limite –∞. f) (u n ) et (v n ) sont deux suites. Si pour tout entier n, n ≥ n 0 , u n ≤ v n et lim u n = +∞, 30. Vrai ou faux a) Faux : La suite 1 ; –1 ; 1 ; –1 ; … (u n = (–1)n) est bornée et non convergente. b) Vrai : les termes de la suite sont entre le premier terme

tant que que tels, ou par un liseré en marge gauche. Ils sont inspirés par des exercices très classiques ou provenant des annales de concours. Ils sont plus nombreux quand une grande variété de situations se présente. Dans le même esprit, un certain nombre d’applications sont données. Elles ne font pas partie du cours, mais elles en sont le prolongement naturel, et inspirent de nombreux exercices d’annales. Ces caractéristiques sont signalées à chaque fois qu’il est nécessaire. Sur fond grisé vous trouverez

des théorèmes de point fixe comme le Théorème de point fixe de Brouwer ou sa généralisation, le Théorème de point fixe de Kakutani. []Eléments en examen pour une éventuelle exploitation dans le développement du sujet [Théorème de Brower Si C est un sous-ensemble non vide de Rn qui est convexe et compact, et si F est une fonction continue définie sur C et à valeurs dans C, il existe un point Xo de C tel que : F(Xo)= Xo. (Pour la démonstration voir 12.7, application 1) Théorème de Kakutani

D=6x²+5x-4 (1,5 point) et 0,5 si ok avant réduction. 2) Factoriser l’expression D. D=(2x-1)3x+4 (1 point) 3) Calculer les valeurs de D D-2=10 (1 point) D74=1858 (1,5 point) Exercice 3 (4 points)  1) Les nombres 682 et 352 sont-ils premiers entre eux ? .(1 point) * 682 et 352 sont pairs donc divisibles par 2, de ce fait leur PGCD est différent de 1 car supérieur (ou égal) à 2. 2) Calculer le plus grand diviseur commun de 682 et 352. .(2 points) * Utilisons

Méthodes sur les suites G. Petitjean Lycée de Toucy 19 juin 2007 G. Petitjean (Lycée de Toucy) Méthodes sur les suites 19 juin 2007 1 / 41 1 Déterminer par le calcul et graphiquement les premiers termes d’une suite définie par une fonction 2 Déterminer les premiers termes d’une suite définie par récurrence 3 Représenter graphiquement les termes d’une suite un+1 = f (un ) 4 Déterminer le sens de variation d’une suite 5 Montrer qu’une suite est arithmétique 6 Déterminer le terme général

est un polynôme du second degré. P(x)=x2−1 est un polynôme du second degré avec b=0 mais Q(x)=x−1 n'en est pas un car a n'est pas différent de zéro. (C'est un polynôme du premier degré-ou une fonction affine) P(x)=5(x−1)(3−2x) est un polynôme du second degré car en développant on obtient une expression du type souhaité. Théorème et définition Tout polynôme du second degré peut s'écrire sous la forme : P(x)=a(x−α)2+ β avec α=− b 2a et β=P(α) Cette expression s'appelle forme canonique du polynôme

Exercices de mathématiques Exercice 1. 1. Démontrer que si r ∈ Q et x ∈ / Q alors r + x ∈ / Q et si r = 0 alors r.x ∈ / Q. √ 2. Montrer que 2 ∈ Q, 3. En déduire : entre deux nombres rationnels il y a toujours un nombre irrationnel. Indications 1. 1. Raisonner par l’absurde. √ 2. Raisonner par l’absurde en écrivant 2 = pq avec p et q premiers entre eux. Ensuite plusieurs méthodes sont possibles par exemple essayer de montrer que p et q sont tous les deux pairs. √ 3. Considérer r + 22 (r −r) (faites un dessin

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1 Théorème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Table des matières v 5.2 5.3 Théorème de Rao - Blackwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Théorème de Lehmann-Scheffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Table des matières Partie 1 – Analyse dans R 1 2 3 4 5 6 7 8 © Dunod – La photocopie non autorisée est un délit. Nombres réels 1re année 2 6 10 13 14 15 16 17 18 19 20 Intégrales définies 1re année 39 43 47 Fonctions numériques 1re année Calcul des primitives 1re année Limites : généralités 1re année Formules de Taylor 1re année Limites : comparaisons locales 1re année Développements limités 48 1re année 13 16 18 Approximation 1re année 52