Théorème des valeurs intermédiaires

.. 41 Liquides non miscibles ................................................................................................................................. 42 Théorème de Pascal ..................................................................................................................................... 43 Enoncé du théorème de Pascal ................................................................................................................................ 44 Application aux dispositifs

2 Soit (u, v) ∈ R2 : Exercice 1 : [énoncé] L’application ϕ : (u, v) → (u + v, uv) est de classe C 1 de U vers R2 . Soit (s, p) ∈ R2 Si (s, p) = ϕ(u, v) alors u et v sont les deux racines de x2 − sx + p = 0 et donc ∆ = s2 − 4p > 0. Les valeurs prises par ϕ appartiennent à V = (s, p) ∈ R2 /s2 − 4p > 0 De plus, pour (s, p) ∈ V , il existe un unique couple (u, v) tel que u < v et ϕ(u, v) = (s, p), c’est le couple formé des deux racines de l’équation x2 − sx + p = 0 u= s− s2 − 4p

exportations et des importations). Ou X/PIB X100 (Taux d’exportations par rapport au PIB). Problème de contrainte extérieur : Gestion du déficit commercial. (Trop d’importations et pas assez d’exportations) Monnaie nationale → Risque de la perte de la valeur de la monnaie. 2. Les évolutions des échanges de marchandises - Par grands groupes de produit. Produits manufacturés = 75% Produits bruts = 25% Pourquoi ? Loi d’Engel - Les pôles du commerce international. Dans les années 50 : Europe+USA

modèles continues I. La loi normale Laplace-Gauss A. Définition de la loi normale B. Loi normale réduite centrée C. Détermination pratique des probabilités : Usage des tables statistiques D. Conditions d’application 1. Variable aléatoire normale 2. Théorème central limite Loi du Khi² A. Définition B. Tables statistiques C. Somme du Khi² indépendantes Loi de Student A. Définition B. Densité de probabilité de la loi de Student Loi de Fisher-Snedecor A. Définition B. Tables statistiques P.008 P.008 P.010

de géométrie classique sont autorisés. 1/4 Exercice 1 : (4 points : 1,5 + 1 + 0,5 + 0,5 + 0,5) L’épreuve du Concours australien de Mathématiques est divisée en trois catégories : • « Junior » qui regroupe les classes de 5e et 4e • « Intermédiaire » pour les classes de 3e et 2nde • « Senior » avec les classes de 1ère et de terminale. Cette année 25 établissements se sont inscrits. Plus de 3 000 élèves, répartis comme l’indique le tableau ci-dessous, ont participé à ce concours. 1) Calculer

f sur l’intervalle  0; 4 . b. Calculer la valeur exacte de  4 2  4 2 4  4 2 25e0,5t dt . 25e 0,5t dt   f  t  dt  F  4   F  2  ; 2 25e 0,5t dt  50  F  4   50e 2  50  1 1 , F  2   50e 1  50  donc 2 e e 1  1 1 1   e 1    50    50   2   50  2  . 2 e  e e e   e  c. En déduire la population moyenne d’insectes entre le début de la deuxième et le début de la quatrième année. La valeur moyenne de la fonction f entre 2 et 4 est :

Liquides non miscibles 42 Théorème de Pascal 43 Enoncé du théorème de Pascal 44 Application aux dispositifs hydrauliques 44 Presse hydraulique 44 Freinage hydraulique 45 Autres applications 45 Poussée d’archimède 50 Etude des forces pressantes s’exerçant sur un corps de forme quelconque totalement immergé 50 Mesure de la valeur de la poussée 50 Mesure du poids du volume de liquide déplacé 51 Conclusion 51 Poussée d’Archimède exercée par un gaz 51 Théorème d’Archimède 51 Le raisonnement

CHAPITRE 2 SÉQUENCE PGCD Théorème de Bézout Théorème de Gauss  1 PGCD de deux entiers naturels (page 40) RÉSOLUTION DE PROBLÈMES d) Problème 1 A B Q R 1. 945 = 882 + 63 et 882 = 63 × 14. 945 882 1 63 Donc PGCD (945 ; 882) = 63 car d doit diviser 945 et 882 et la plus grande valeur de d est le PGCD des deux nombres. 882 63 14 0 « Tant que », le reste R est nul. On obtient à l’affichage la valeur commune A. • Si A  B, le premier

le domaine de l’analyse mathématique moderne. II- Construction de l’ensemble des nombres réels Le critère de convergence d'une suite énoncé par Augustin Louis Cauchy, comme le théorème des valeurs intermédiaires « prouvé » par Bolzano firent vite partie de la panoplie de travail de tout analyste. Mais ces théorèmes semblaient entachés de géométrisme, dérivant de la théorie des proportions que René Descartes avait rattachée à la géométrie. Or, après la découverte des géométries non euclidiennes

Université de Nice-Sophia Antipolis et GREDEG pierre.garrouste@orange.fr Plan  1. Rappels      Préférences Utilité Risque Information La règle de Bayes L’équilibre walrasien L’existence de l’équilibre Le premier théorème du bien-être Le second théorème du bien-être Les externalités Le financement des biens publics La sélection adverse Le hasard moral Les dilemmes Leurs solutions  2. L’équilibre général      3. Les défaillances du marché    4. Les asymétries