Théorème du rang

avec : ( ) avec n entier naturel  Une suite définie par une formule explicite :  Une suite définie par une relation de récurrence : ( )  Des suites adjacentes. Comme toujours les outils que l’on utilise sont les définitions, les propriétés ou théorèmes vus en cours, il est nécessaire de parfaitement les connaître ! Comment étudier une suite arithmétique ou géométrique ? Méthode : Pour montrer qu’une suite (?? ) est une Suite arithmétique de raison r ?? On prouve que On écrit ?? en fonction

Si A admet un plus grand élément, alors c'est la borne supérieure de A. Si A admet un plus petit élément, alors c'est la borne inférieure de A. • Théorème d'existence Toute partie non vide et majorée (resp. minorée) de R admet une borne supérieure (resp. inférieure). 3.3 Droite numérique achevée Pour ne pas avoir de restriction dans le théorème précédent, on considère un nouvel ensemble noté R obtenu à partir de R par l'adjonction de deux éléments notés −∞ et +∞ . On prolonge à R la relation

LE TALENT C’EST D’AVOIR ENVIE Fiche 2 : Les fonctions Calculer des limites Méthode : On commence par analyser f (x). Peut on directement appliquer l’un des théorèmes du cours (limites et opérations, théorèmes de comparaison) ? Dans la négative, il est nécessaire de donner à f (x) une nouvelle expression relevant de ces théorèmes. Cette nouvelle expression peut être obtenue en imposant à la variable une condition compatible avec la recherche de la limite : condition du type x > x 0 pour

Chapitre 18 Arithmétique Objectifs Dans et [X ] qui sont des anneaux euclidiens : • Définir la notion de congruence. • Recherche des diviseurs communs : algorithme d’Euclide. • Notion d’éléments premiers entre eux : théorème de Bezout et ses conséquences. • Notion de Pgcd et de Ppcm. • Notion d’éléments premiers (ou irréductibles), décomposition en facteurs premiers. Sommaire I) Divisibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1) Rappels . . .

(an ) la série (de fonctions) an xn . – Remarque – 1. Un polynôme est une série entière dont les coefficients sont nuls à partir d’un certain rang. 2. Les sommes partielles d’une série entière sont des polynômes. 3. La série entière an z n converge au moins pour z = 0 ; sa somme est alors a0 . an z n . On appelle 1.2 Lemme d’Abel Lemme d’Abel — Théorème 1.1 Soit n n an z une série entière et z0 un complexe non nul tel que la suite (an z0 ) soit bornée. n z 1. Pour tout complexe z : an z

calculs que AB! = AO! + OB!. D’après la réciproque du théorème de Pythagore, Je conclus que le triangle AOB est rectangle en O. J’en déduis que (OB) ! (AO) Je sais que (CD) ! (AO) et (OB) ! (AO) D’après la propriété :si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles entre elles. Je conclus que (CD) // (OB). 2. Démontrons que CD = 4 cm : Je sais que dans le triangle OAB : • AO = 9 • AC = 3 • OB = 12 D’après le théorème de Thalès, Je conclus que = = CD = CD = 4 La longueur

n s'appelle le degré du polynôme. On note n=deg(f). Propriété : Deux fonctions polynômes sont égales lorsqu'elles ont le même degré et les mêmes coefficients. Racine d'un polynôme : Le nombre a est appelé racine d’un polynôme f lorsque f(a) = 0. Théorème : a est une racine du polynôme f si et seulement si il existe un polynôme g tel que f  x  =  x − a  g  x  . Dans ce cas deg(g) = deg(f) – 1 = n−1 On dit aussi que le polynôme f  x  est factorisable par  x− a  n− 1 Pour déterminer le

℘(k) : k! • Comme 1! = 1 et 21−1 = 20 = 1, on a ℘(1). Donc ℘ est initialisée au rang 1. • Montrons que ℘ est héréditaire à partir du rang 1. Soit m ∈ m! En multipliant par (m + 1), on obtient : m! × (m + 1) (m + 1)! Et comme m + 1 2: (m + 1)! (m + 1)! D'où ℘(m + 1). La propriété ℘ est donc héréditaire à partir du rang 1. Du principe de raisonnement par récurrence, on en déduit que la propriété ℘ est vraie à tout rang k ∈ D'où le résultat. d. On a 10! = 3 628 800 et 11! = 39 916 800. L'entier recherché

que : « tout intervalle nombre réel A, déterminer à l’aide d’un algo- ouvert contenant , contient toutes les rithme un rang à partir duquel un est supé- valeurs un à partir d’un certain rang ». rieur à A. Pour exprimer que un tend vers + 3 quand n tend vers + 3 , on dit que : « tout intervalle de la forme @ A ; + 3 6 contient toutes les valeurs un à partir d’un certain rang ». Comme en classe de Première, il est important de varier les approches et les outils sur lesquels le raisonnement

familier pour ne pas en présenter quelques propriétés caractéristiques avant d’aborder l’ensemble des nombres complexes. On trouvera en annexe une idée de construction de l’ensemble des nombres réel 1 . Certaines définitions de ce chapitre seraient des théorèmes si notre ambition était une construction de l’ensemble des nombres complexes à partir de l’ensemble des nombres réels ; cependant, cette ambition ne serait pas conforme à l’esprit du programme 2 . 1.1 1.1.1 L’ensemble C des nombres complexes