Théorème du rang

finie Une suite ( Un ) converge vers le nombre reel a si tout intervalle ouvert contenant a contient tout les termes de la suite a partir d un certain rang , ce que l on peut traduire par : lim | Un-a | = 0 N ->+inf Théorème des gendarmes Si il existe deux suites (vn) et (wn) de limite a telles que, à partir d un certain rang, on ait : Vn < Un n0: - on vérifie que la propriété est vraie pour n0; -on suppose que la propriété est vraie pour un entier naturel n donné et, sous

Applications linéaires et matrices, Calcul matriciel et Rang d’une matrice. Changement de bases. - Calcul des déterminants. Résolution des systèmes d’équations linéaires. Polynôme caractéristique, diagonalisation. Module 2: Mathématique II Elément Contenu Fonctions d’une variable réelle et étude des courbes planes  L’ordre sur IR et ses propriétés : Borne supérieure et borne inférieure. Les suites réelles, critères de convergence. Théorème de Bolzano-Weiestrass. Limites d’une fonction numérique

≤ 3 b. Initialisation : u0 = 2 ≤ 1 × 2 La propriété est donc vraie au rang 0 n 2 Hérédité: Supposons la propriété vraie au rang n : un ≤   2 3 n 2|zn| 2 2 2 Alors un+1 = |zn+1| ≤ par conséquent un+1 ≤ un ≤ ×   2 3 3 3 3 n+1 2 Et donc un+1 ≤   2 3 La propriété est vraie au rang n + 1. Conclusion : la propriété est vraie au rang 0. En la supposant vraie au rang n , elle reste vraie au rang suivant. n 2 Par conséquent, pour tout entier naturel n, un ≤  

]0 ; +1[ et l’image de l’intervalle est ] 1 ; +1[, avec 0 qui appartient à ce dernier donc d’après le théorème des valeurs intermédiaires il existe un unique  2]0 ; +1[, tel que f () = 0. 3. Vérifier que : 1 2 6  6 1. On remarque que f  1 2   0:19 et f (1) = 1 + ln(1) = 1. On a donc f  1 2  < 0 et f (1) > 0, donc comme dans la question précédente par application du théorème des valeurs intermédiaire, on en déduit que 1 2 <  < 1 . www.bac-de-maths.fr - Le partenaire de

réallocations de ressources dans des économies d’échange à 2 biens et 2 agents. Pendant de nombreuses années, la théorie de l’optimum a servi de base à l’Economie du Bien-être (Welfare Economics). De ces relations, il ne reste plus aujourd’hui que les deux théorèmes de l’Economie du Bien-être, qui permettent de démontrer sous certaines conditions l’équivalence entre un optimum de Pareto et un équilibre général walrasien. I. Concepts et résultats fondamentaux Les concepts dont nous aurons besoin sont pour la

Exercice 4 Cet exercice est inspiré de la nouvelle de Claude Berge Qui a tué le Duc de Densmore (Bibliothèque Oulipienne n ◦ 67, 1994, Réédition Castor Astral, 2000). Dans cette nouvelle policière, le lecteur peut découvrir le meurtrier grâce à un théorème combinatoire dû au mathématicien hongrois G. Hajós. Un jour, Sherlock Holmes reçoit la visite de son ami Watson que l’on avait chargé d’enquêter sur un assassinat mystérieux datant de plus de trois ans. À l’époque, le Duc de Densmore avait été tué

Arithmétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 1 Division euclidienne et pgcd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2 Théorème de Bézout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3 Nombres premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

= bj le théorème qui suit est connu sous le nom du théorème de SKLAR qui nous donne un résultat fondamental dans la théorie des copules. Théorème de Sklar : Soit F une fonction de répartition n-dimensionnelle avec des marginales F1,...,Fn , alors il existe une n-copule C telle que pour tout x de Rn , F(x1 ,...,xn ) =C(F1 (x1 ),..., Fn( xn)). Réciproquement, si C est une copule et F1,…..,Fn sont des fonctions marginales continues alors C est unique. Ce théoréme permet d’associer

( u n ) a pour limite L , signifie que lorsque n est de plus en plus grand, les nombres u n correspondants viennent s’accumuler autour de L C’est à dire, tout intervalle ouvert de centre L contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang. On note : lim u n = L n → +∞ De manière plus mathématique : Pour tout ε (ε > 0 ) , il existe un entier naturel p , tel que, si n ≥ p , alors u n ∈ ] L – ε ; L + ε [ ( c’est à dire L – ε < u n < L + ε ) Ex : lim n → +∞ 1 =0 n² Rem : Si une

dire L – ( < u n < L + ( ) | |C’est à dire, tout intervalle ouvert de centre L contient tous les termes de la suite à | | |partir d’un certain rang. |Ex : +)) = 0 | |On note : +)) u n = L |