Théorème du rang

; :::; Un ; ::: sont appelés termes de la série. La série numérique (2.1) est dite aussi série de terme générale Un ; série Un ; ou série U: Dé…nition 2.2 La somme …nie Sn = U0 + U1 + ::: + Un = n P (2.2) Uk k=0 est appelée somme partielle de rang n de la série (2.1). Dé…nition 2.3 On dit que la série de terme général (Un ) converge si et seulement si la suite (Sn ) converge. Dans ce cas on appelle somme de la série sa limite que l’on note S = lim Sn = n!1 1 P (2.3) Un n=0 On dit que la

Si A admet un plus grand élément, alors c'est la borne supérieure de A. Si A admet un plus petit élément, alors c'est la borne inférieure de A. • Théorème d'existence Toute partie non vide et majorée (resp. minorée) de R admet une borne supérieure (resp. inférieure). 3.3 Droite numérique achevée Pour ne pas avoir de restriction dans le théorème précédent, on considère un nouvel ensemble noté R obtenu à partir de R par l'adjonction de deux éléments notés −∞ et +∞ . On prolonge à R la relation

de passage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2 Nouvelle composante de vecteur . . . . . . . . . . . . 3.3.3 Nouvelle représenatation d’une application linéaire . 3.4 Rang d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.2 Propriétés du rang d’une matrice . . . . . . . . . . . 3.5 Série d’exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

donnant le terme de rang n en fonction du premier terme et de la raison de la suite - Utiliser les formules et les règles de dérivation pour déterminer la dérivée d’une fonction - Etudier, sur un intervalle donné, les variations d’une fonction à partir du calcul et de l’étude du signe de sa dérivée. Dresser son tableau de variation. - Déterminer un extremum d’une fonction sur un intervalle donné à partir de son sens de variation. Connaissances - Expression du rang n d’une suite géométrique

passage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2 Nouvelle composante de vecteur . . . . . . . . . . . . 3.3.3 Nouvelle représenatation d’une application linéaire . 3.4 Rang d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.2 Propriétés du rang d’une matrice . . . . . . . . . . . 3.5 Série d’exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 Théorèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 Théorèmes liés au sens de variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Convergence monotone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Suites

. . . . . . . . . . . . . . 17 Une autre méthode de résolution d'un système AX = B . . . . . . . . . . . . . . . 19 La notion de rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.3.1 Rang d'un système linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.3.2 Rang d'une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Système linéaire carré . . . . . . . . . . . . .

 ​   . un =     … +   ​  1   ​+ ​  1   ​+ 1 × 2 2 × 3 n(n + 1) n Hypothèse de récurrence : un =   . ​     ​ n + 1 Initialisation  : u1 = ​  1   ​ = ​ 1  : la propriété est vraie au  ​      1 × 2 2 rang 1. Hérédité : supposons-la vraie au rang n et calculons un   +   1. n(n + 2) + 1 n 1  ​  ​     ​+ ​          un   +   1 =    ​=  ​ n + 1 (n + 1)(n + 2) (n + 1)(n + 2) n + 1 n2 + 2n + 1  ​ . =  ​=   ​      ​    (n + 1)(n + 2)

représentation graphique dans un repère du plan sont situés au-dessous ou sur la droite d’équation y = M . L’intervalle ]L – 1 ; u p [ contient L mais ne peut contenir des termes un que pour n < p, donc il ne contiendra pas tous les termes à partir du rang p. • u est minorée par un réel m signifie que tous les points de sa représentation graphique dans un repère du plan sont situés au-dessus ou sur la droite d’équation y = m . p, un u p > L. Ceci contredit le fait que la suite ait pour limite L.

mis aux jours différents outils. Nous allons vous présenter ceux-ci. 2ème diapo : Hippocrate Hippocrate est né en 460 avant J-C et il est mort en 370 avant J-C. Il est surnommé Hippocrate le Grand ou Hippocrate de Cos, ses surnoms sont due à son haut rang à médecine. Il est très connu pour son célèbre serment : le serment d’Hippocrate que prête les médecins en occident avant d’exercer la médecine. Il est le « père » de la médecine en laissant son nom a de nombreuses techniques (le banc d’Hippocrate :