Théorème du rang

s’agrègent pour former des préférences collectives. Condorcet répondait de manière nuancée. K Arrow, en 1951, répond par la négative : c’est le théorème de l’impossibilité . Les choix effectués n’obéissent pas à des critères rationnels, le seul choix collectif est le choix du dictateur. Amartya SEN, lui, va dépasser ce théorème en considérant le fait qu’on peut prendre en compte la capacité réelle ou concrète des individus à dépasser une réalité, une liberté négative. C’est par les

insuffisance de monnaie. II/Crise des 1930's et pensée keynésienne entraînent inversion de la logique. L'économie d'endettement va reposer sur le crédit. A) Le crédit est un élément majeur de la politique économique. Keynes, les banques de second rang impulsent le circuit économique. Le crédit est intégré dans la politique monétaire : "politique de stabilisation" Musgrave + modèle IS-LM. B) Les 30G consacrent l'économie d'endettement dans le capitalisme Germano-nippon. En France, Colbertisme

résultats : Les élèves ont du mal à le dire avec des phrases. 19 d) Réciproque : Le professeur conduit la démonstration en classe entière. 19 e) Vers un autre théorème où a désigne une des trois mesures, pas nécessairement la plus grande. 19 V. Somme des angles d’un triangle : 20 VI. En quatrième, le théorème de Thalès, le théorème de Pythagore et le cosinus. 20 Notre méthode de travail consiste à rechercher un enchaînement de questions à proposer aux élèves de sorte que l’étude du thème

vite à la respecter. Vous la retrouverez avec davantage de détails dans le « Petit manuel de bonne rédaction ». • Supposons qu’on veuille démontrer un théorème à base de ∀ de la forme : ∀x ∈ E, P(x). La plupart des théorèmes mathématiques peuvent se mettre sous cette forme. Vous avez le droit de ne pas savoir démontrer jusqu’au bout un tel théorème, mais vous n’avez pas le droit de ne pas savoir comment commencer votre démonstration. Sans réfléchir, vous la commencerez par : « Soit x ∈ E ». Un élément

valeurs dans 2 l’intervalle ] −∞ ; ]. e 2 De plus, 1,05 ∈ ] −∞ ; ]. e Donc, d’après le théorème de la bijection, l’équation (x) = 1,05 admet une unique solution x1 sur l’intervalle ]0 ; e ]. Avec la calculatrice, on trouve : x1 = 1,056 à 10−3 près par excès. Sur [ e ; +∞[, la fonction est continue et strictement décroissante et à valeurs dans ]0 ; 2 ]. e 2 ]. e Donc, d’après le théorème de la bijection, l’équation (x) = 1,05 admet une unique solution x2 sur l’intervalle [ e ;

(vn) semble être décroissante à partir du rang 1 et converger vers la même limite que (un). valeur i + l 1. Suites • 13 6 l a. u n + 1 – u n= 1 qui est strictement positif pour tout n ∈ ℕ. (n + 1)! b. Démontrons par récurrence que n! ⩾ 2n – 1 pour tout n ⩾ 1. Initialisation : 1! = 1 et 21 – 1 = 20 = 1 donc la propriété est initialisée au rang 1 puisque 1! ⩾ 21 – 1. Hérédité : Supposons que la propriété est vraie pour un certain rang p. Supposons donc p! ⩾ 2p – 1 pour un

l’ensemble des nombres réels ℂ : l’ensemble des nombres complexes 13    14 Les objets géométriques Objets, assertions, relations VRAI FAUX 15 ETABLIR GRÂCE À UN JEU D’AXIOMES QU’UNE ASSERTION EST VRAIE C’est prouver un théorème …  ou prouver un lemme …  ou prouver un corollaire …  16 QUELQUES OPÉRATIONS ENTRE ASSERTIONS LA DISJONCTION : R OU S V R S R ou S 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 18 LA CONJONCTION : R ET S R 0 0 S 0 1 R et S

14 3- La suite (Un )n≥1 est dite stationnaire s’il existe un rang N ≥ 1 tel que Un = Un+1 = cste ∈ R ; ∀n ≥ N. Exemples: 1-La suite (Un )n≥1 donnée par Un = 2n ; n ≥ 1. est une suite croissante. 2- La suite (Vn )n≥0 donnée par Vn = est une suite décroissante. 3- La suite (Wn )n≥0 donnée par Wn = est une suite décroissante. 4- La suite (yn )n≥3 donnée par y3 = 0 , y4 = 12 , y5 = 6 et yn = 7 ; ∀ n ≥ 6. est stationnaire à partir du rang N = 6. Définition: On considère (Un )n≥1 une suite de nombres réels

admise au départ d’une théorie) Soit Pn une propriété dépendant de n  IN. 1ère étape : on démontre que la propriété est vraie pour n = 0 ou n = 1 (respectivement pour n 0) 2ème étape : on suppose la propriété vraie au rang n 3ème étape : on en déduit que la propriété est vraie au rang n+1 Conclusion : la propriété est vraie pour tout n  IN (respectivement pour tout n ≥ n0). Exemples : Exemple 1 : Soit (un) la suite définie par : un = 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1). u1 = 1 ; u2 = 1 + 3 = 4 ; u3 = 1

min (ou max) cT x (6) Ax = b (7) x≥0 (8) ` ´ Algebre lineaire Algorithme du simplexe ´ ´ Resume Variables de base • On appelle Base une sous-matrice reguliere de A. Il faut ´ ` que la matrice A(m, n) soit de rang m. • Une solution de base est obtenue en posant n − m ´ ` ´ variables egales a 0, et en resolvant pour les m variables restantes, qui sont les variables de base (VB). • Les n − m variables a 0 sont les variables hors base (VHB). ` • Des