Théorème du rang

islamique 7 Byzance & son Empire 8 Les échanges 8 Biographie de Fibonacci 9 Le problème des lapins 10 La suite et ses propriétés 12 La suite de Fibonacci 12 Définition : 12 La suite de Lucas 12 Propriétés des deux suites 13 Théorème de Zeckendorf 13 Rapports entre f(n) et f(kn) 13 Les nombres premiers et la suite 14 Sommes de nombres de la suite 14 Relations entre les nombres de la suite de Fibonacci 14 Relations entre les nombres de la suite de Lucas 15 Le nombre

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Théorème de B ÉZOUT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Théorème de G AUSS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nombres premiers 5 5 5 6 6 8 8 9 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 PGCD, Théorème de Bézout et Théorème de Gauss I 1. 2. 3. 4. II III 4 Divisibilité

, xk ) est une famille libre. Preuve Prouvons-le par récurrence sur k. 7 Chapitre 1 – Compléments d’algèbre linéaire C’est vrai pour k = 1 puisqu’un vecteur propre n’est pas nul. Supposons la propriété vérifiée au rang k et montrons qu’elle est vraie au rang k + 1. Soit (x1 , x2 , . . . , xk+1 ) des vecteurs propres de u associés à des valeurs propres distinctes l1 , l2 , . . . , lk+1 . Supposons avoir des scalaires a1 , a2 , . . . , ak+1 tels que k+1 ai xi = 0. (1) i =1

4 4 Applications linéaires 1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.3 1.4 CHAPITRE 2 © Dunod. La photocopie non autorisée est un délit. 2.1 2.2 2.3 Familles libres, familles liées, familles génératrices Sommes, sommes directes Théorème d’isomorphisme Interpolation de Lagrange Théorème du rang 9 9 10 11 Dualité 13 1.3.1 1.3.2 1.3.3 Généralités Hyperplans Bases duales 13 14 16 Calcul matriciel 22 1.4.1 1.4.2 Trace Blocs 22 27 Déterminants 35 Le groupe symétrique 36 2.1.1 2.1.2 2.1.3 36 36 39

D'après la réciproque du théorème de Thalès, = ED EC les droites (AB) et (CD) sont parallèles. 2. Calculer la longueur du segment [AB]. On peut alors appliquer le théorème de Thalès (les données EB EA AB CD×EA 15×7,2 ont été vérifiées dans le 1.) : . Alors AB= = = = =9 . ED EC CD EC 12 3. Montrer que les droites (CE) et (DE) sont perpendiculaires. Dans le triangle CDE : CD2=15 2=225 , et ED2 + EC 2 =92 +122 =81+144=225 . ED2 +EC 2 =CD2 , donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle

Pour montrer qu'un ensemble F est un espace vectoriel sur K, on peut  chercher un espace vectoriel E qui contient F, puis prouver que F est un sous‐ espace vectoriel de E. 4 Caractérisation d'un sous‐espace par la notion de combinaison linéaire Théorème Soit E un K‐espace vectoriel et F une partie de E. F est un sous‐espace vectoriel de E si et seulement si :  •F est non vide  •Toute combinaison linéaire de deux éléments de F appartient à F : Exemples: •L'ensemble P des fonctions polynômes de R

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Problème de plus court chemin : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1 Définitions et propriétés : . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.2 Le Cas des graphes sans circuits : Algorithme de Roy (Rang). 1.5.3 Le cas où tous les poids sont positifs : Algorithme de Dijkstra 1.5.4 Le cas où les poids sont de signe quelconque : Algorithme de Ford-Bellman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.5 Le plus court chemin entre deux points quelconques

pendule » en 1789 . La première utilisation de la méthode des moindres carrés est 4 attribuée à Adrien-Marie Legendre en 1805 ou à Carl Friedrich 3 Gauss qui dit l'avoir utilisée à partir de 1795 . Carl Gauss démontre, en 1821, le théorème connu aujourd'hui sous le nom de théorème de Gauss-Markov qui exprime sous certaines conditions la qualité des estimateurs, Andrei Markov le redécouvre 5 en 1900 . C'est à Francis Galton qu'est accordée la pérennité de l'expression 3 « régression linéaire » en 1886

Soit F de période T (pulsation   2 ). Alors, d’après le théorème de Fourier : T   n 0 n 0 (an ) nN , (bn ) nN * , t  R , F (t )   an cos(.n.t )   bn sin(.n.t ) On a : a0  F (t ) t t an  bn  2 F (t ' ) cos(.n.t ' )dt' T 0 2 F (t ' ) sin(.n.t ' )dt' T 0  t Notation compacte : F (t )   C n cos(.n.t   n ) ( a0  C0 cos 0 ) n 0 Terme 0 : valeur moyenne Terme n : harmonique de rang n de la décomposition de Fourier. Exemple : le son d’un instrument

< ε, ce qui donne comme précédemment une nouvelle écriture de la définition : ∀W voisinage de ℓ, ∃V voisinage de x 0 ∀x ∈ V, f (x) ∈ W Théorème 6 Lien entre f (x0 ) et lim f (x) x→x0 Si lim f (x) = ℓ ∈ R alors ℓ = f (x 0 ). x→x0 � ATTENTION : ceci est faux avec une limite à gauche ou à droite, comme le montre l’exemple de la fonction partie entière. Théorème 7 Lien entre lim f (x), f (x 0+ ) et f (x0− ) x→x0 Si x 0 ∈ D f : lim f (x) = ℓ ⇐⇒ x→x0  −    f (x 0 ) = ℓ f (x 0+ ) = ℓ   ℓ