Théorie des probabilités

petit rappel sur les probabilités - première Les Probabilités I. Evénements On considère une expérience (par exemple le jet d'un dé). L'ensemble de tous les résultats possibles est supposé fini et noté U. (dans l'exemple, U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}). 1. Evénement Définition C'est l'ensemble de tous les résultats caractérisés par une même propriété lors d'une expérience.C'est une partie A de U. Exemple : le numéro sorti lors d'un jet d'un dé est pair : A = {2, 4, 6}. 2. Evénement élémentaire

(si H1 : U différent de 40 alors le test est unilatéral) On appelle X la variable d’échantillonnage des moyennes des échantillons de taille 10 On considère une variable aléatoire T telle que T= X – 11 La loi de probabilité de T est la loi de Student à t-n-1 degré de liberté. S T Distribution de T Vn-1 Détermination des valeurs critiques valeur de T : P (T>=t) = 0,05 1-P (T<t) = 0,05 -P (T<t)

7 Objectifs de la série • • • • Permutations et combinaisons Probabilités et probabilités conditionnelles (Bayes) Espérance mathématique Courbes d’utilité et aversion au risque Remarque : En probabilité et en dénombrement, il peut y avoir plusieurs manières différentes de résoudre un problème. Exercice 1 Georges a jeté 2 pièces de monnaie. a) Quelle est la probabilité que le résultat soit 2 faces ? b) Quelle est la probabilité que le résultat soit 2 faces s’il sait qu’il y a eu au moins une

étudiée qui reflète le plus fidèlement toutes les caractéristiques de la population. 2°) Taille de l’échantillon. De la taille de l’échantillon dépend la précision de la mesure, effectuée à un seuil de probabilité donné. Généralement, un seuil de probabilité de 95% est retenu ce qui correspond au degré de confiance qui peut être attribué à la mesure effectuée. La précision se définit par un intervalle de confiance qui correspond à l’erreur que l’on accepte de faire sur

II/ Lois de probabilités: a) Loi de Bernouilli: Soit X une variable aléatoire discrète. On fait une expérience 1 fois et on considère X le nombre de succès obtenus. X prend les valeurs 0 ou 1 Soit p = P(x=1) --> c’est la probabilité de succès 1.p = P(X=0) --> c’est la probabilité de l’échec Ainsi on dit que X suit la loi de Bernouilli de paramètre P et on note x ~> B(p) (~> = suit) Exemple: On lance une fois un dé et on s'intéresse a l’obtention du chiffre “3” x:nombre

Ecart type sur délai d’approvisionnement : σd = 0,4 semaine Si le vendeur choisi un taux de service de 95,05% auquel correspond une valeur Z = 1,65 (On trouve les différentes valeurs de Z, en fonction du niveau de service fixé, dans le tableau de probabilité cumulative encore appelé tableau de la loi normale)   | |1 Approche avec variation de la demande seulement  | | |

démarche d’acheter un billet et de valider les numéros. La partie ’’chance’’ arrive par la suite, puisque le tirage et la sortie des numéros doivent correspondre aux siens. De plus, il y a beaucoup de joueurs, ce qui réduit considérablement la probabilité de gagner. Lorsque cela arrive ont peut dire que c’est de la chance, car l’hypothèse de gain est infime. La chance et le hasard sont parties intégrantes de la vie, tout comme la malchance. Effectivement, le fait de se faire renverser par

On sait que : la probabilité que le test soit positif (c'est à dire qu'il indique que c'est une copie) sachant que le produit est bien une copie est de 0,85 la probabilité que le test soit négatif sachant que le produit est bien original est de 0,95 On tire une flasque au hasard et on la soumet au test, Représenter les données sous forme d'un arbre de probabilités. Déterminer la probabilité que le produit soit original. Déterminer la probabilité que le test soit positif

PROBABILITES: CONCEPTS ET AXIOMES DE BASE • Approche classique: Si on lance un dé bien équilibré, chaque face a la même chance d’apparaître(1/6) • Approche de la probabilité relative: Si on lance un dé truqué, les faces ne sont plus équiprobables. On lance alors le dé plusieurs fois et on détermine la fréquence relative d’apparition de chaque face • Approche subjective: On se présente à un examen. On s’inquiète de ses chances de succès. On porte un jugement subjectif. 1 TERMINOLOGIE • 1) Notion

Donner les probabilités conditionnelles PAG , PBG  et la probabilité PG . D'après les données de l'énoncé : 50% des bulbes d'Anémones germent, alors PAG =0,5 90% des bulbes de Bégonias germent, alors PBG =0,9 83% des bulbes germent, alors PG =0,83 Quelle est la probabilité qu'un bulbe planté soit un bulbe d'Anémone qui germe ? PA ∩G=PAG ×PA Or le mélange de 400 bulbes contient 100 bulbes d'Anémones d'où PA =100400=0,25 Donc PA ∩G=0