Théorème Hos

3.4 Les anneaux quotients 37 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 38 39 41 42 Z/nZ Théorèmes de Fermat et d'Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Systèmes de congruences. Théorème chinois 3.3.1 Retour à l'indicatrice d'Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Application à la cryptographie, l'algorithme RSA 4 La division euclidienne dans l'algèbre K[X]

lorsque n augmente, la fréquence d’un évènement varie de moins en moins : il y a stabilisation des fréquences ; ceci indique qu’il y a une loi mathématique sous-jacente (loi faible des grands nombre) qui va pouvoir fournir un modèle prédictif. Théorème : Pour un échantillon d’effectif n très petit par rapport à l’effectif N de la population, dont une fréquence ƒ des individus possède une propriété P, alors il y a environ 95 chances sur cent pour que l’intervalle I défini dans la suite contienne

Quelques théorèmes fondamentaux I) PGCD de deux entiers relatifs non nuls A) Définition Pour tout entier relatif non nul a, on note D(a) l’ensemble des diviseurs de a. D(a) est un ensemble fini non vide : il est non vide car il contient les nombres -1 et 1 ; il contient un nombre fini d’éléments car un diviseur b de a est un nombre qui vérifie 1 ≤ ≤ Exemple : D(12)={-12 ;-6 ; -4 ;-3 ;-2 ;-1 ; 1 ;2 ;3 ;4 ;6 ;12} D(30)={-30 ; -15 ;-10 ;-6 ;-5 ;-3 ;-2 ;-1 ;1 ;2 ;3 ;5 ;6 ;10 ;15 ;30} Notons D(12 ;30)

Les invariants opératoires : concept en acte et théorème en acte : « … celle qui a pour fonction d’identifier et de reconnaître les objets, leurs propriétés, leurs relations, et leurs transformations. » L’auteur ajoute : « La fonction principale des invariants opératoires est de prélever et de sélectionner l’information pertinente et d’en inférer des conséquences utiles pour l’action, le contrôle et la prise d’information subséquente. » Le théorème en acte : « Proposition tenue pour vraie dans l’activité

n √ √ 1+ 5 1− 5 |x0 − ϕ| = 1 − = 2 2 ¶ On a aussi, puisque √ 5 2, √ 1+ 5 ϕ= 2 1+2 3 = 2 2 n 1 ¶ Finalement on a, pour tout n ∈ Æ, |xn − ϕ| |x0 − ϕ| ϕn 1 3 2 n = 2 3 b. En déduire la limite de la suite (xn ). Le théorème des gendarme nous assure alors que lim |xn − ϕ| = 0. On en déduit que lim xn = ϕ. n→+∞ n→+∞ On a donc, pour tout n ∈ Æ, 0 |xn − ϕ| 2 n 3 avec lim n→+∞ 2 n 3 = 0. Lycée Henri Meck, Molsheim. MF -6- Dernière modification

démontrés et supposés vrais. S’ils sont faux, toute la théorie s’écroule. De plus, une théorie ne rend pas forcément compte de toutes les vérités. Et les mathématiques, source de vérité immuable pour Descartes, n’échappent pas à cette réalité. Ainsi le théorème d’incomplétude de Gödel stipule que dans toute axiomatique raisonnable qui ne contient que les nombres naturels, il existe des propositions qui ne peuvent être démontrées alors qu’elles sont vraies. Prenons l’exemple de l’axiome du choix, indémontrable

X )) = n! n On a donc : Et d'après la formule d'inversion de Pascal : n! = k =0 k Cn d k dn = n k =0 k Cn ( −1) n − k k ! = n! n ( −1) n − k ( −1) k = n! (n − k )! k! k =0 k =0 n Ce résultat a pour conséquence un curieux théorème dit "des chapeaux" (d'autres versions existent) : n invités laissent leur chapeau au vestiaire et repartent en prenant un chapeau au hasard. La probabilité pn qu'ils repartent tous avec un chapeau ne leur appartenant pas est : pn = dn = n!

→ 1) Calculer mes( BA ; BC ) arrondi au degré près . 2) Calculer BH BA → Méthode : 1) Calculer →. BC à l’aide de A2 et A4, et en déduire mes( BA ; BC ) 2) Calculer BA . BC à l’aide de A1. → → → → 2 Propriétés du produit scalaire Théorème A1 Pour tous vecteurs u , v , w , t du plan et pour tout réels a et b, on a :  →  →  →  → • (a u ). v = a u . v →  →  →   → →  → → • u .( v + w ) = u . v + u . w  →  →  →  → • a u . b v = ab u . v → →  →  →   → →  → →

La dimensione pittorica nell’opera cinematografica di Pasolini La pittura nel cinema : un procedimento esperimentato da parecchi registi come Godard, Hitchcock, Pialat, Antonioni o ancora Webber. Noi ci concentreremo più particolarmente su Pier Paolo Pasolini. Pasolini che nasce nel 1922 a Bologna e muore nel 1975 a Roma è stato uno scrittore, poeta, regista ma anche pittore. Attraverso le sue opere, osserva la trasformazione sociale e prende posizione contro la piccola borghesia, la società

pour minimum m. Or, m > 0. Donc, pour tout réel x, φ(x) > 0. Question 2c. Sur [1 ; 2], la fonction φ est continue et strictement croissante. De plus, φ(1) = (2×1 – 1)+ 4 = 5 < 6 et φ(2) = (2×2 – 1)+ 4 = 3e + 4 > 6. Donc, d’après le théorème de la bijection, l’équation φ(x) = 6 admet une unique solution réelle α sur l’intervalle [1 ; 2]. En utilisant les tables de valeurs de la calculatrice, on obtient : 1,2 < α < 1,3. Partie C Question 1. On a : F(x) = u(x)×v(x) + w(x) avec