Variable aléatoire réelle

8 Partie 5. Devoirs Partie 1 Introduction et Modèle Statistique CHAPITRE 1 Introduction Considérons un problème de Fiabilité où l’on étudie la durée de vie X d’un matériel. Il est raisonnable d’admettre que celle-ci est aléatoire et X est alors une variable aléatoire (v.a.) de fonction de répartition (f.d.r.) F . Supposons que l’on soit précisément intéressé par l’évaluation de la probabilité que le matériel soit en marche après un temps t0 de fonctionnement, c’est à dire évaluer ¯ F (t0 )

fonction F est négative sur l’intervalle [3 ; 4]. La fonction F est positive sur l’intervalle [4 ; 12]. La fonction F est décroissante sur l’intervalle [4 ; 12]. La fonction F est décroissante sur l’intervalle [1 ; 3]. 2 14MAELMLR1 4. Pour tout réel ‫ ݔ‬de l’intervalle ] 0 ; +∞ [ : l’équation ln ‫ ݔ‬൅ lnሺ‫ ݔ‬൅ 3ሻ ൌ 3ln2 est équivalente à l’équation : a) 2‫ ݔ‬൅ 3 ൌ 6 c) ‫ ݔ‬ଶ ൅ 3‫ ݔ‬ൌ 6 b) 2‫ ݔ‬൅ 3 ൌ 8 d) ‫ ݔ‬ଶ ൅ 3‫ ݔ‬ൌ 8 ହ 5. ݃ est la fonction définie sur l’intervalle ] 0 ; +∞ [

les combinaisons de ces différents titres. Les portefeuilles sont formés par de telles combinaisons. Les rentabilité des différents titres, et par conséquent la rentabilité des portefeuilles, sont en général entachées d’aléa. L’étude des variables aléatoires relève des probabilités et des statistiques. Bien que l’utilisation de la statistique mathématique ait été délibérément réduite au minimum (au profit d’arguments plus intuitifs et au prix d’une perte apparente de généralité), un minimum

Il est aussi envisageable pour un sociologue de construire son échantillon en choisissant un ensemble de ménage puis, à l’intérieur de chaque ménage, une personne de manière aléatoire. Cet individu ne doit en aucun cas être choisi selon des critères de disponibilité, de préférence, mais bien selon des principes aléatoires stricts. Aussi, pour réaliser ce choix, nous ferons appel à la méthode dite de « l’individu Kish ». Cette méthode consiste en la sélection d’un individu au hasard parmi les individus

d’affixes respectives : [pic] [pic] et [pic] a. Déterminer le module et un argument de chacun des nombres complexes b. Écrire le nombre complexe [pic] sous la forme [pic]où r est un nombre réel strictement positif et [pic] un nombre réel compris entre [pic] et [pic]. c. Justifier que les points A, B et C sont sur un même cercle , dont on précisera le centre et le rayon. d. Placer les points A, B et C dans le plan muni du repère [pic] 3. Le point D

un décalage entre la valeur vraie et la valeur mesurée (décalage fixe ou à variation lente). - Ce type d’erreur est difficile à compenser, nécessite un étalonnage précis de la chaîne de mesure. - Les erreurs statistiques - C’est une variation aléatoire de la valeur mesurée autour de la valeur la plus probable. Cette erreur suit une loi statistique particulière. (nécessite de connaître le modèle probabiliste du système mesuré) •CMI 2009-2010 P. NAYMAN 20 Les erreurs statistiques La présence

CCF n°1 Durée : 2h00 Matériel fourni : formulaire de mathématiques Tous les calculs doivent figurer sur la copie. La note tiendra fortement compte de la rédaction qui devra donc être particulièrement soignée. Exercice 1 : Statistiques à deux variables Le tableau suivant donne l’évolution de la population de l’Inde de 1951 à 1991. Année 1951 1961 1971 1981 1991 Rang 1 2 3 4 5 Population (en millions) 361 439 548 683 846 Sauf consigne particulière, les résultats seront arrondis au millième

événements ne sont pas indépendants car : P(C)xP(F)= 0,12x0,0944=0,011328 Et P(C∩F)=0,024, P(C)xP(F)≠P(C∩F). 3) P(C∩F)= P(C)x P c-(F)= 0,88x0,92=0,8096(soit=81%) . L’affirmation du directeur est fausse. 4) On répète trois fois une expérience aléatoire ayant deux issues : avec défauts (p(e)), sans défauts (p(s)) . P(s)=0,8096 et P(e)=0,1904 de façon indépendante suit une loi binomiale B(3 ;0,8096) P(X=3)=1x0,80963x1,19040=0,531. EXERCICE 3 : 1)c 2)b 3)b 4)a EXERCICE 4 : 1)a) b) B(x)=0

première intégrale. 3. L’aire de la figure verte représente cette deuxième intégrale. Exercice n°2 : Loi à densité A. Posons Montrer que f est une fonction de densité de probabilité f représente-t-elle une loi uniforme ? On pose X la variable aléatoire de fonction de densité f. A est l’événement «  » et B est l’événement «  » Pour chacune des six probabilités suivantes : Énonce en français la signification de la probabilité. Trace un petit croquis mettant en valeur l’aire représentative

feuille annexe le tableau de variations de la fonction H 2 3 x 3 . − 23 x2 + 4x − 5. 1 : H(x) = 2 Calculs des probabilités Rappels de seconde : p(A ∪ B) + p(A ∩ B) = p(A) + p(B) A∪B =A∩B et A ∩ B = A ∪ B. On donne A et B deux évènements aléatoires. Dans une copie, on lit p(A) = 1, 2. Il y a une erreur, c’est sûr, en effet p(A) doit être dans l’intervalle [ ] . ; On sait : p(A) = 0, 7, p(B) = 0, 4. Alors avec certitude, p(A ∩ B) ≥ que A ∪ B est l’évènement certain. Alors p(A ∩ B) = On peut