Variable aléatoire réelle

Conditionnement par un événement de probabilité non nulle. Notation ( ). Indépendance de deux événements. Notions de lois à densité. Loi à densité sur un intervalle. Loi Uniforme sur [ ; ]. Espérance d’une variable aléatoire suivant une loi uniforme. Lois Exponentielles. Espérance d’une variable aléatoire suivant une loi exponentielle. Loi Normale centrée réduite, Théorème de Moivre-Laplace (admis). Loi Normale ( , ). CAPACITES ATTENDUES • Construire un arbre pondéré en lien avec une situation donnée

Chapitre III variables aléatoires discrètes. 1. 1°) Un dé cubique D1 comporte 3 faces marquées 1, 2 faces marquées 2, 1 face marquée 3. On lance le dé D1, on note X1 le nombre obtenu, Déterminer la loi de X1 son espérance, sa variance. 2°) Mêmes questions pour X2 le nombre obtenu en lançant un dé D2 comportant 3 faces marquées 4, 2 faces marquées 5, 1 face marquée 6. 3°) On lance D1 et D2 simultanément, Calculer l'espérance de Z = X1+ X2. Vérifier en déterminant la loi de Z. 2. On

approche quantitative ces phénomènes, les outils de l’ analyse des Séries chronologiques ont été depuis trente années largement développés et considérablement enrichis. Ce cours a pour but d’ en présenter les premiers éléments. Un processus temporel réel ou chronologique est une famille de nombres réels x1 ; x2 ; : : : ; xt , observés à di¤érents instants. Il n’ a, a priori, aucune structure probabiliste sous-jacente à ces données. Pour mieux y comprendre le processus observé, connaître un certain

Définition 2- Deux résultats de décomposition 3- Evènements indépendants 4- Exercices III- Variables aléatoires : généralités 1- Définitions 2- Variables aléatoires discrètes, variables aléatoires à densité 3- Couples de variables aléatoires 4- Variables aléatoires indépendantes 5- Exercices IV- Caractéristiques numériques des variables aléatoires 1- Espérance 2- Variance, covariance 3- Exercices V- Variables aléatoires usuelles 1- Loi de Bernoulli (p) 2- Loi binomiale (n, p) 3- Loi uniforme 4- Loi exponentielle

170 172 175 175 176 177 177 177 10 Appendice : Mémento sur les martingales 179 11 Appendice : Mémento sur la théorie ergodique 181 Introduction Les suites de variables aléatoires présentant une structure de dépendance markovienne sont probablement, après les suites de variables aléatoires i.i.d., l'une des catégories d'objets les plus étudiées en probabilités. Elles jouent un grand rôle à la fois dans la théorie et dans les applications, et ont fait l'objet de développements

dénombrables Ensembles produits Familles d’ensembles Autres rappels mathématiques Rappel sur les sommes Rappel sur les intégrales Chapitre 3 : 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.6.1 3.6.2 3.6.3 Eléments de calcul des Probabilités Introduction Expérience aléatoire, ensemble fondamental et événements Opérations sur les événements Règles du calcul des probabilités Remarque Illustration de quelques ensembles probabilisés Ensemble probabilisé fini Ensemble fini équiprobable Ensembles probabilisés infinis 2011

suivantes : Pour tout A appartenant ε(Ω) -> P(A) 0 P(Ω) = 1  A, B appartenant ε(Ω), si = alors P() = P(A) + P(B) a) Variables aléatoires  Variable aléatoire discrète : ne prend que des valeurs discrètes : numériques ou non N’a pas tout plein de chiffre après la virgule Variable qualitative (couleur de cheveux, niveau de satisfaction, sexe, type de c/) Variable quantitative discrète (nb de cas de grippe dans une famille de 5pers, nb de jeune dans une portée…) Loi de proba : somme

................................................. Calcul combinatoire des probabilités ........................................................ Conditionnement et indépendance............................................................ Variables aléatoires réelles ................................................................... Généralités. Loi d’une var ........................................................................... Espérance mathématique .........................................

Introduction On se situe dans le cadre des statistiques inférentielles. On étudie un échantillon d’une population et l’on cherche à en déduire des propriétés pour la population toute entière. Les variables statistiques qui décrivent la population peuvent être considérées comme des variables aléatoires dont la répartition est caractérisée par une loi de probabilité. Échantillonnage On sélectionne un échantillon de taille par tirage au sort de la population. On détermine les intervalles

. . . . . . . . . 2.3. Éléments aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1. Définition et caractérisation . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2. Loi de probabilité d’un élément aléatoire . . . . . . . . 2.3.3. Éléments aléatoires indépendants . . . . . . . . . . . . Chapitre 3. Variables aléatoires réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 10 Probabilités et statistique 3.1. Attributs des variables aléatoires réelles . . . . . . . . . . . . . . . .