Vecteur

est la matrice de g = f 2 dans la base {e} ? 2. Quels sont les vecteurs propres et les valeurs propres de g ? 3. Montrer que si λ est une valeur propre de f , alors µ = λ2 est valeur propre de g. 4. En déduire les seules valeurs propres possibles pour f. 5. Pour un vecteur x quelconque de E, montrer que : f(x) + 2 x ∈ Ker (f − 2 idE ) f(x) − 2 x ∈ Ker (f + 2 idE ) 6. Construire un système de générateurs de E formé de vecteurs propres de f. 7. Diagonaliser f , soit directement, soit en utilisant

z) telles que : x = abscisse de M ; y = ordonnée de M ; z = côte de M. x = Pr oj Ox OM ; 0 y = Pr ojOy OM 0 ; z = Pr oj Oz OM . 0 z M k O j y i x y0 m x0 Dans R0 , le vecteur position s’écrit : OM = Om + mM = x i + y j + z k . Déplacement élémentaire. Le vecteur déplacement élémentaire MM ' (M’ est rès voisin de M) s’écrit: MM ' = d OM = d M = dx i + dy j + dz k (Dans R0 , d i = d j = d k = 0 ) II] Systèmes de coordonnées cylindriques. ] Si la trajectoire

portés par les vecteurs propres de C, la longueur de chacun d’eux indiquée par la valeur propre correspondante. Ainsi, le vecteur propre correspondant à la plus grande valeur propre donne la direction de plus grande dispersion du nuage de points. 90 Chapitre 5 Analyse en composantes principales P1 0.6 0.4 Voie C 0.2 P2 0 -0.2 1 0.5 0 0 -0.5 -0.2 0.2 P3 0.6 0.4 Voie B Voie A Figure 3: La boucle représentée ici est la trace temporelle du vecteur cardiaque pendant

k0 ⎟ de vecteurs unitaires i0 , j , k 0 ,.les 0 ⎝ ⎠ coordonnées cartésiennes de M point mobile dans R0 sont x(t), y(t),et z(t). On appelle vecteur position de M dans R0 le vecteur OM = x(t ). i0 + y (t ). j0 + z (t ). k 0 . b) −−−−−> −−−−−> → → → Vecteur vitesse de M par rapport à R0 −−−−−> ⎡ d −−−−−> ⎤ OM ⎥ on note V ( M / R0 ) = V ( M / 0 ) = ⎢ ⎢ dt ⎥ ⎣ ⎦ R0 avec O origine du repère R0 .Le vecteur vitesse est tangent en M à la trajectoire. c) −−−−−> Vecteur accélération

Z1 2 ) Var [Z1 1]Var [Z1 2 ] ait une valeur maximale sous la contrainte: Var [Z1 1] = Var [Z1 2 ] = 1: Remarques : * 1. Z1 1 est donc le premier vecteur propre de P1P2 Z1 2 est donc le premier vecteur propre de P2P1,où: * P1 désigne le projecteur orthogonal sur l'espace engendré par les colonnes de X1 P2 désigne le projecteur orthogonal sur l'espace engendré par les colonnes de X2. * 2. Z1 1

matrice quelconque ] Cette matrice a pour dimension 4×4 Elle comporte 4 lignes et 4 colonnes C'est une matrice carrée Cette matrice a pour dimension 1×5 Elle comporte 1 lignes et 5 colonnes C'est un vecteur ligne Cette matrice a pour dimension 5×1 Elle comporte 5 lignes et 1 colonnes C'est un vecteur colonne 1 / 10 Classe de Première ES, option Maths (603 – 605) b. Vocabulaire • • Les nombres dans les matrices se nomment : les coefficients de la matrice On note a ij le coefficient à l'intersection

Changement de bases 1. Position du problème On considère un espace vectoriel de dimension , dont on connaît une base On considère une famille de vecteurs de cet espace vectoriel On appelle la matrice dont les vecteurs colonnes sont formés par les composantes des vecteurs dans la base Par exemple si l'espace vectoriel est de dimension 3 et que l'on a La matrice sera égale à : Nous avons démontré l'an dernier que cette matrice est inversible si et seulement si la famille est une base de

quelconque. Si nous nous limitons a` l’onde progressive, E et B ne seront fonction que du temps et de la distance parcourue suivant la normale n au plan d’onde. Dans ce cas on peut ´ecrire : E(t − B(t − n.r ) c n.r ) c avec r = (x, y, z) vecteur position correspondant au point M o` u l’onde est consid´er´ee. n.r En posant u = (t − c ) il vient : ∂E = ∂∂tE ∂u ∂B = ∂∂tB ∂u ∂ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂z = = = ∂ ∂u ∂u ∂x ∂ ∂u ∂u ∂y ∂ ∂u ∂u ∂z 6 ∂ = − αc ∂u ∂ = − βc ∂u ∂

Vecteurs et torseurs I. Rappels de quelques notions fondamentales. 1. Grandeurs physiques. Une grandeur dite scalaire est caractérisée par un nombre (« intensité ») et une unité. Exemple : La température s’exprime en degré Kelvin (K). Une grandeur vectorielle est caractérisée par un vecteur et une unité. Un vecteur est lui-même caractérisé par un sens et une norme. ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ avec norme de ⃗ , ‖ ⃗ ‖ et AB distance entre les points A et B. 2. Unités. Le système international est basé sur les 7 grandeurs

Amérique du Sud 2004 Exercice 1 Mouvements plans (4pts) Calculatrice autorisée 1.1. Le projectile est soumis uniquement à son poids. D'après la deuxième loi de Newton: = m. soit m.= m. donc = Ainsi l'affirmation est vraie, le vecteur accélération du centre d'inertie du projectile ne dépend pas des conditions initiales. 1.2. D'après le 1.1. on a = Par projection suivant l'axe vertical Oz, aGZ = – g Or aGZ = donc vGZ = – g.t + V0z soit vGZ = – g.t + V0.sin  vGZ varie au cours du temps, donc