Vecteur

OP = (OM , ON ) décrit la trajectoire de phase du mobile. Pour un mouvement à un degré de liberté, le point de phase P se déplace dans le plan de phase : —➞ OP = (x(t), v(t)). ◗ VITESSE D’UN POINT Soit O un point fixe du référentiel ᏾ . Le vecteur vitesse de M par rapport à ce référentiel est : —➞ dOM v➞(M)/ ᏾ = ᎏ / ᏾ dt ➞ · ➞ · ➞ ·➞ Expression en coordonnées cartésiennes : v (M) = • / ᏾ x ex + y ey + z ez . ΂ • Expression en coordonnées cylindriques : ΃ y er eθ

dans un repère donné, par son équation mathématique. La forme de la trajectoire dépend du référentiel choisi. 2. Position d’un mobile a) Vecteur position et coordonnées cartésiennes    Soit M le mobile et (O, i , j , k ) le repère choisi. La position de M à chaque instant est   repérée par les coordonnées (ou composantes) x, y, z du vecteur position OM .      Mathématiquement : OM  x i  y j  zk et OM  x 2  y 2  z 2 Si le repère est orthonormé x, y, z sont appelés

considérées séparément pour obtenir les ratios avantages/coûts. hiérarchie pour le choix de matériel destiné à la fabrication d'uréthane. Trois critères principaux sont retenus: le prix, les caractéristiques techniques et la performance. Une fois les vecteurs priorités obtenus, nous calculons le ratio avantage/coût de chaque machine Avantage « A » / coût « A » le ratio le plus élevé signifie la meilleure alternative. 15 16 4 ING 802 - Analyse de Faisabilité 2- Importance relative des éléments

Soit M la matrice de R4 suivante [002579]  0 2 M= 0 0  1 0 0 0 −1 0  7 0 6 0 3 0 1. Déterminer les valeurs propres de M et ses sous-espaces propres. 2. Montrer que M est diagonalisable. 3. Déterminer une base de vecteurs propres et P la matrice de passage. 4. On a D = P−1 MP, pour k ∈ N exprimer M k en fonction de Dk , puis calculer M k . Correction [002580] 1 2 Partiel Exercice 4 Soit u l’endomorphisme de R3 dont la matrice dans la base canonique

1, 1), on a f(v1 ) = v1 , f(v2 ) = v2 et f(v3 ) = 4v3 . De plus, si 1 1 1 P est la matrice de la famille (v1 , v2 , v3 ) dans la base canonique B0 , det(P) = −1 0 1 = 1 + 2 = 3 = 0. Donc 0 −1 1 B = (v1 , v2 , v3 ) est une base de R3 constituée de vecteurs propres de f. On en déduit que f est diagonalisable. q(v1 ) = 1 j(v1 ) = 0, q(v2 ) = 0 et q(v3 ) = v3 et donc matB (q) = diag(0, 0, 1) puis matB (p) = I3 − matB (q) = diag(1, 1, 0). 3 Si v1 = (1, −1, 0), v2 = (1, 0, −1) et v3 = (1, 1, 1) puis B =

6 ÉTAPES Petits rappels de théorie Étant donnée une matrice 2 × 2 A= 1. A est diagonale si A = a b , c d λ1 0 ; 0 λ2 2. A est diagonalisable s’il existe une matrice inversible P telle que P −1 AP = ∆, où ∆ est diagonale. 0 x 3. v = ,v= est un vecteur propre pour A, de valeur propre λ, si Av = λv. y 0 La recette Considérons par exemple A= 1 2 . 2 1 1. Polynôme caractéristique de A : c’est pA (x) = det(A − xI2 ). Ici pA (x) = det A = 1 2 x 0 − 2 1 0 x = det 1−x 2 2 1−x = (1 − x)2 − 2 · 2 =

La trajectoire est l’ensemble des points de l’espace occupés par le mobile  M à tous les instants. uuuu r r •L Le vecteur              est appelé vecteur position. lé ii OM = r z M r r Trajectoire O y x 2 2. Mouvement rectiligne La trajectoire est une droite On choisit un seul axe comme système de référence avec une origine O et droite. un vecteur unitaire. Les vecteurs position, vitesse et accélération sont: O r i r r M x ( t) x r r r r r (t ) = x (t

S2I Lycée Corneille T.CHIRLE ● Le Torseur Le torseur : un outil mathématique R {T}= M(o) o Il représente un champ de vecteur équiprojectif. Champ des vitesses d'un solide en rotation Le Torseur S2I Lycée Corneille T.CHIRLE ● Le torseur : adapté à la mécanique des solides. Le torseur est un outil mathématique particulièrement adapté aux calculs de mécanique du solide indéformable. Il apparaît dans les trois chapitres du programme de S2I : ∗ Cinématique du solide ∗ Modélisation des actions

négative. f(t) représente le vecteur des forces excitatrices. En régime harmonique, f(t)=f.e , où s=j , étant la pulsation de la force excitatrice, j = -1. La solution particulière harmonique (réponse forcée) du système conservatif (2) est donnée par : K−ω M y=f (3) Les solutions propres du Système Conservatif Associé sont données par le système homogène associé défini par : K − ω M y =0 (4) Ce système linéaire admet n valeurs réelle λ = ω , et n vecteurs propres associés y ,

ligne), la matrice se r´duit e a ` un vecteur ligne de dimension n que l’on note (la signification de l’“exposant T” est r´v´l´e e ee ci-dessous) : AT = a1 a2 ... an Une matrice rectangulaire est verticale si m > n· Exemple de matrice verticale :   2 4  3 5     4 5     2 3  4 0 Cas particuliers de la matrice verticale : lorsque n = 1 (une seule colonne), la matrice se r´duit e a ` un vecteur colonne et le second indice n’est plus n´cessaire. Le vecteur (dit alors “de dimension e m”) s’´crit