Vecteur

les βj sont des entiers naturels non nuls. Une telle décomposition peut être obtenue en commençant par décomposer sur C puis en regroupant les facteurs conjugués. 2 2.1 Réduction des endomorphismes et des matrices carrées. Valeurs propres, vecteurs propres, sous-espaces propres Valeur propre. f ∈ L(E) et λ ∈ K, E de dimension quelconque. → → − → → λ est valeur propre de f si et seulement si il existe − = 0 tel que f(− ) = λ− x x x si et seulement si f − λIdE n’est pas injectif → − si et

coefficient associé. Nous allons chercher à trouver les visages propres ; tout d’abord, nous devons prendre un nombre M de visages d’apprentissage. Chacune de ces images, qui sont en pratique des matrices N x N sont alors transformées en un unique vecteur colonne de longueur N2. Matrice N x N initiale : transformée en : Nous devons par la suite déterminer le visage moyen, déduit des M visages d’apprentissages. Ce visage moyen va servir dans l’analyse d’images, on soustrait en effet ce visage

de vecteurs/facteurs <- Affectation : y<-a*x+b vector Crée un nouveau vecteur factor Crée un nouveau facteur ordered Crée un nouveau facteur ordonné c Concatène : y<-c(2,3,0,6,10) : Série entière : 5:9 équivaut à c(5,6,7,8,9) seq Crée une séquence rep Crée un vecteur répétition d’un motif donné length Donne la longueur d’un vecteur [] Sous vecteur : x[3], x[3:8], x[x > 0], x[c(T,F)] + - /* Opérateurs mathématiques unique Renvoie un vecteur sans éléments répétés as.vector Convertit en vecteur as.factor

composants du vecteur A lM ®E IV.- Espérance mathématique et matrices des variances covariances des estimateurs …à suivre… I.- Position du problème : Le modèle de régression linéaire multiple est de la forme : ero Y = a1 X 1 + a2 X 2 + L + ak X k + ε , où Y est la variable à expliquer,. ua X1,X2,…,Xk ce sont les variables explicatives. a1,a2,…,ak ce sont les paramètres du modèle. ni ε est l’erreur aléatoire, inconnue et centrée. Les variables Y, X1,X2,…,Xk et ε sont des vecteurs de n composantes

la chute libre, déterminer les coordonnées ax et az du vecteur accélération du centre d'inertie du projectile dans le repère indiqué. 4. Donner l'expression des coordonnées du vecteur vitesse initiale v0 , notées v0x et v0z , en fonction de v0 et a. 5. On appelle vx(t) la composante horizontale du vecteur vitesse et vz(t) sa composante verticale. Déterminer l'expression des composantes horizontale et verticale vx(t) et vz(t) du vecteur vitesse du système au cours de son mouvement. 6. En

f= @2f @2f @2f + 2 + 2 2 @x @y @z ! Exercice 2 Soit le champ de vecteurs V (M ) = (x2 + y 2 ! ! ! ! ! (x2 z) k : calculer divV; (Rot V ; div(Rot V ) Exercice 3 Soit f : R3 ! R dé…nie par f (x) = x2 ! z) i + (2xy ! yz) j + x : + y2 + z2 ! ! ! calculer Gradf; Rot(Gradf) ; 0.2 Dérivées directionnelles Exercice 4 a)Trouver la dérivée directionnelle du champ: U = 2x3 y ! en P(1,2,-1) dans la direction dé…nie par le vecteur P Q; Q(3; 1; 5) 3y 2 z; b) Dans quelle direction cette dérivée est-elle

réels appelés coordonnées de M. Selon les besoins, on peut utiliser : ♦ ♦ ♦ les coordonnées cartésiennes (x,y,z) (projections sur Ox, sur Oy, sur Oz) les coordonnées cylindriques (ρ,θ,z) les coordonnées sphériques (r,θ,ϕ) r par son vecteur position r = OM . Ce vecteur peut se décomposer sur différentes bases de projection : r r r r r r r r ♦ sur la base cartésienne ( u x , u y , u z ) : r =x u x + y u y + z u z . Les composantes de r se confondent alors ♦ ♦ (et dans ce cas seulement) avec les coordonnées

torseur est un champ de vecteurs équiprojectif, champ dont les vecteurs [pic]en chaque point P s'appellent « moments » du torseur. De par les propriétés d'un tel champ, les moments en deux points P et O vérifient la relation de Varignon : [pic]. Un moyen mnémotechnique de la retenir est la dénomination "formule de BABAR" : [pic], où le vecteur [pic](associé de façon unique à tout champ équiprojectif), s'appelle résultante du torseur. Un torseur est donc déterminé par deux vecteurs, constituant sa "réduction"

d’endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Polynôme de matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Valeurs propres, vecteurs propres 1 1 1 Proposition 5 : E un K-ev, u ∈ (E) admettant un pomi πu , si F est un sous espace vectoriel de E u-stable, v = u/F, alors π v /πu . 3.1 Valeurs propres, vecteurs propres d’un endomorphisme 3.2 Valeurs propres, vecteurs propres d’une matrice. . . . . 3.3 Polynôme caractéristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 5 Diagonalisation Trigonalisation

matrice de Mn (C), on pose pour tout entier 1 ≤ i ≤ n : n ri = j=1 |ai j | et Di = {z ∈ C, |z| ≤ ri }.   x1 x  Pour X =  2  ∈ Mn,1 (C), on note X . xn  ∞ = max |xi |. 1≤i≤n 6.  x1 x  Soit λ ∈ Sp(A) et X =  2  un vecteur propre associ´ ` λ. ea . xn Montrer que pour tout entier 1 ≤ i ≤ n : |λ xi | ≤ ri X ∞ . n 7. 8. D´montrer que Sp(A) ⊂ e k=1 Dk . Soit P = X n + an−1 X n−1 + . . . + a1 X + a0 un polynˆme de C[X], ´tablir que toutes les o e racines de