Xi

x2 ; …; xn} les valeurs prises par X. On note (X = xi) l'évènement « X prend la valeur xi ». Lorsqu'on associe à chaque valeur xi la probabilité de l'évènement (X = xi ), on définit une nouvelle loi de probabilité associée à X, par la donnée des réels xi et des probabilités pi = P (X = xi ). Cette loi est appelée loi de probabilité de la variable aléatoire X. Remarque : On présente souvent la loi de probabilité de X sous forme d'un tableau : xi x1 x2 ... xn P (X = x1 ) + P (X = x2 ) + … + P

linéaire On se place une situation mettant en jeu des observations bivariées (xi;yi) pour i=1,…,n , où les xi représentent les valeurs observées de la variable aléatoire explicative X et les yi celle de la variable aléatoire dépendante Y. La méthode la plus communément utilisée pour étudier la relation entre ces deux variables est la régression linéaire simple, qui suppose un modèle de la forme : Yi = a + b Xi + εi pour i=1, … , n Où les erreurs aléatoires εi sont non corrélées, de moyenne

1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 Naissance en % 19,6 30,1 31,8 33,2 34,9 36,1 37,6 38,9 40 40,7 41,7 Dans un repère orthogonal, on a représenté la série chronologique double (xi ;yi ) avec xi=ai-1980. 1) On se propose de chercher un ajustement affine. a) Déterminer une équation réduite de la droite de régression de y en x obtenue par la méthode des moindres carrées, avec des coefficients arrondis à 10-4 près. A l'aide de

i=1 Alors la quantité k i=1 αi xi s'appelle combinaison convexe des xi , i = 1, . . . , k . Théorème 1.1.1. Soit C un sous-ensemble de E. Alors, C est convexe si et seulement si C est égal à l'ensemble des combinaisons convexes de ses éléments. C'est-à-dire : C est convexe si et seulement si k k C={ i=1 αi xi ; k ∈ N ; xi ∈ C, αi ≥ 0, i = 1, . . . , k/ i=1 k ∗ αi = 1} k i=1 Démonstration. : Posons B={ αi xi ; k ∈ N∗ ; xi ∈ C, i = 1, . . . , k; αi ≥ 0/ αi = 1}

L’équilibre walrasein        Chaque consommateur i est doté d’une fonction de préférence (ou d’utilité ui). Il possède une dotation initiale ωi d’un bien k Soit xij le consommation du bien j xi ={xi1, xi2,…, xin} Une allocation est définie par: x = {x1, x2, …, xn} Dans une économie d’échange pur: i1 xi  i1 ωi n n   Dans le cas de deux biens et deux consommateurs on utilise la boîte d’Edgeworth. Elle est telle que ω1 = ω11 + ω21 et ω2 = ω12 + ω22 Le couple (x11, x 12) indique combien

2b0 yi + 2b1 yi xi + b02 + 2b0b1 xi + b12 xi2 ] Pour que cette équation atteint son minimum il faut que les dérivés du premier ordre s’annulent1 : n i =1 ( yi b0 ˆ 2 yi ) = n i =1 ( 2 y i + 2b0 + 2b1 xi ) ………1 n i =1 ( yi b1 ˆ 2 yi ) = n i =1 ( 2 y i xi + 2b0 xi + 2b1 xi2 ) ….2 A partir de la première équation nous pouvons déduire : n i =1 b0 = n i =1 n yi b1 i =1 xi Nb0 = n i =1 n yi b1 i =1 xi N En divisant

suite d’´l´ments ∈ A =⇒ ee An ∈ A n=1 3. A ∈ A =⇒ A ∈ A Dans ces conditions A est appel´ tribu. e Exemple 1.1.6. Si A ⊂ Ω, A = φ A = Ω dans ce cas φ, A, A, Ω est une tribu de parties de Ω Remarque 1.1.7. Si Ω est d´nombrable et si {xi } ∈ A ∀ xi ∈ Ω alors A = P (Ω) e En pratique : Lorsque Ω est fini ou d´nombrable, on consid`re A = P (Ω) e e Cons´quences e Soit A une tribu de parties de Ω, Ω ´tant l’espace fondamental on a : e – φ∈A – ∀ (A, B) ∈ A2 , A ∪ B, A ∩ B, A B ∈ A – pour

X une variable aléatoire discrète et soit V = {x1 , . . . , xk } l’ensemble ordonné des valeurs possibles de X (k fini ou infini). Soit Exi = X −1 (xi ) = {ω ∈ Ω : X(ω) = xi } , l’événement de Ω associé à xi (i = 1, . . . , k). Il est donc possible d’associer à chaque xi une probabilité égale à P(Exi ), que nous notons “pi ” ou encore P(X = xi ). Définition La loi de probabilité d’une variable aléatoire discrète est définie par l’ensemble des couples : {(x1 , p1 ), (x2 , p2 ), . . . , (xk

5) Pondération : (Xi) x (Ni) -Jean-Baptiste Delpierre pour Xi : 8.5 (point d’abscisse X) x 157 (trafic corrigé) = 1335 pour Yi : 12 (point d’abscisse Y) x 157 = 1884 -Europâte : pour Xi : 13.5 x 196 = 2046 pour Yi : 10 x 195 = 1960 -Méo : pour Xi : 14 x 295 = 4130 pour Yi : 13 x 295 = 3835 -Jean Caby : pour Xi : 14 x 319 = 4466 pour Yi : 13 x 319 = 4147 -Céma : pour Xi : 14 x 152 = 2128 pour Yi : 13 x 152 = 1976 -Guiot pour Xi : 18 x 118 = 2124 pour

------------------------------------------------- La moyenne d’une série, connue par toutes les données xi, est égale au quotient de la somme de toutes les données divisée par l’effectif total N : Formule : ------------------------------------------------- La moyenne simple de la série statistique (xi) i=1..k est donnée par la formule ------------------------------------------------- Méthode : On additionne toutes les valeurs (xi) et on divise par le nombre total de valeurs (N). Exemple : Alain