Affixe

Forme trigonométrique d’un nombre complexe – Applications Christophe ROSSIGNOL∗ Année scolaire 2019/2020 Table des matières 1 Représentation géométrique d’un nombre complexe 2 1.1 Rappels : affixe d’un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Affixe d’un vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 Forme trigonométrique 3 2.1 Argument d’un nombre complexe non nul . . . . . . . . . . . . . .

EXERCICE 1  A ) soit( 1 )calculer p(-3) et conclure 2)factoriser p(z) 3)résoudre dans r l’équation p(z)=0 B)dans le plan de Cauchy ,on donne les points A ;B ET C d affixes respectives ZA+-3 ; ZB=-1+2i ; Zc=-1-2i 1)quelle est la nature du triangle ABC ? Justifier a l’aide des calculs 2) donner l’angle puis l expression analytique de la rotation de centre A qui transforme C en B EXERCICE 2 : C) 1. Trouver les racine carrées des complexes Z0=8-6i Z1=3+4i

vecteur par son affixe dans un repère orthonormal direct, on dit qu'on se place dans le plan complexe. z6 = - i v O → u Propriétés Si M a pour affixe z = a + bi et si M' a pour affixe z' = a' + b'i , avec a, b, a', b' réels, alors : • • • → le vecteur MM' a pour affixe z' - z = (a' - a) + (b' - b)i → OM = | OM | = a2 + b2 → MM' = | MM'||= (a' - a)2+ (b' - b)2 • • le milieu I de [MM'] a pour affixe zI = z + z' 2 le barycentre G de (M ; α) et (M' ; β) a pour affixe zG = α z + β z'

z non nulle associe le point M’ d’affixe z’ =[pic], où [pic]désigne le nombre complexe conjugué de z . 1) Déterminer l’ensemble des points invariants par f . Un point M d’affixe z est invariant par f si, et seulement si, sont image M’ a pour affixe z . D’où M d’affixe z est invariant par f si, et seulement si, z = [pic]ou z[pic][pic]= 4 . Or z[pic][pic] représente le module de z au carré (avec z = a + ib , z[pic][pic]= (a + ib)(a – ib) = a2 + b2 ) Donc M d’affixe z est invariant par f si

Allemagne, Press Roman et les autres. 2. Partie théorique On peut constater qu`un mot dérivé est formé par l`adjonction d`un ou plusieurs affixes soudés à un base. Les affixes se divisent en préfixes, qui se placent avant la base et en suffixes, qui se trouve aprés la base. La base est l`élément qui reste d`un mot dérivé si on lui enlève ses affixes. Elle constitue une unité qui, telle quelle ou assortie des désinances requises, forme un mot dont la nature détermine en retour le statut catégoriel

2π ] Preuve : → → → Si V a pour affixe z, on sait que V = OM avec M le point d'affixe z. → → D'autre part on a par définition arg z = θ = ( u , OM ) [ 2π ] → → Donc ( u , V ) = θ = arg z [ 2π ] → → → → → → → → → → Et ( V , V ' ) = ( V , u ) + ( u , V ' ) = ( u , V ' ) - ( u , V ) = θ' - θ = arg z' - arg z [ 2π ] Propriétés Soit A, B, C et D des points d'affixes respectives zA, zB, zC et zD tels que A ≠ B et C ≠ D. → → → • le vecteur AB a pour affixe zB - zA , et on a : AB = zB - zA et

Soient A, B et C les points d’affixes respectives 1 zA = − , 2 1 1 1 z B = − + i et z C = − − i. 2 2 2 a. Placer les trois points A, B et C sur une figure que l’on fera sur la copie en prenant 2 cm pour unité graphique. b. Calculer les affixes des points A′ = f (A), B′ = f (B) et C′ = f (C) et placer les points A’, B’et C’ sur la figure. c. Démontrer que les points A′ , B′ et C′ ne sont pas alignés. 2. Soit g la transformation du plan qui, à tout point M d’affixe z, fait correspondre

l’affixe de S. 2 3. Démontrer que les points B, A, S, C appartiennent à un même cercle C dont on déterminera le centre et le rayon. Tracer C . 4. À tout point M d’affixe z = 2, on associe le point M d’affixe z = iz + 10 − 2i . z −2 a. Déterminer les affixes des points A , B , C associés respectivement aux points A, B et C. b. Vérifier que A , B , C appartiennent à un cercle C de centre P, d’affixe i. Déterminer son rayon et tracer C . c. Pour tout nombre complexe z = 2, exprimer |z − i| en fonction de

Conjugué : z=x-iy * z+z'=z+z' * zn=(z)n * Si z≠0;1z=1z et zz'=zz' C- Géométrie et nombres complexes Propriété des affixes : z=x+iy est appelé l’affixe du point M(x;y). On note Mz. * Si A(zA) et B(zB) alors AB(zB-zA) * Si I est le milieu de AB alors IzA+zB2 * Si wzW et si w'zW' alors w+w' a pour affixe zW+zW' * kw a pour affixe kzW D- Propriétés de la forme trigonométrique d’un complexe a. Propriété des modules et arguments : zz'=z×z' zn=zn avec

un point ou un vecteur par son affixe dans un repère orthonormal direct, on dit qu'on se place dans le plan complexe. Exercice 03 (voir réponses et correction) Placer dans le plan complexe, les points d'affixes : z1 = 2 + 3i ; z2 = 3 + i ; z3 = -1 + 2i ; z4 = 2 - i z6 = -i ; z7 = 1 ; z8 = -i - 3 ; z9 = 2z1 - 3z2 ; Propriété ; z5 = i z10 = z3(z4 - z2) (voir démonstration 03) Si M a pour affixe z = a + bi et si M' a pour affixe z' = a' + b'i , avec a, b, a',