Anneau commutatif

∀u, v, w ∈ E , ∃e ∈ E , ∀v ∈ E , 2. Élément neutre : 3. Opposé : u + (v + w) = (u + v) + w ∀v ∈ E , ∃v ∈ E , v+v =v +v =e ∀v, w ∈ E , 4. Commutativité : v+e=e+v =v v+w =w+v Ces propriétés font de (E, +) un groupe commutatif. • Multiplication externe : 5. Associativité : R × E −→ E (λ, v) −→ λ v ∀λ, µ ∈ R , ∀v ∈ E , 6. Élément neutre : ∀v ∈ E , λ(µ v) = (λµ) v 1v = v 7. Distributivité (1) : ∀λ, µ ∈ R , ∀v ∈ E , (λ + µ) v = λ v + µ v

 Histoire, présentation : Gollum est un personnage imaginaire créé par l’écrivain britannique J. R. R. Tolkien et qui apparaît dans ses romans « Le seigneur des anneaux » et le « Hobbit ». Il est connu en tant que Sméagol à l'origine puis prend le nom « Gollum » à cause de bruits de déglutition qu'il fait avec sa gorge et aussi parce qu’il fût chassé de sa famille après le meurtre de son cousin. Personne ne lui adressait la parole ; il se mit alors à se parler à lui-même

notée ´ , est définie par : (a, b) ´ (a', b') = (aa' - bb', ab' + a'b) Par exemple, avec (a, b) = (2, 5) et (a', b') = (-3, 4), on a : (2, 5) + (-3, 4) = (-1, 9) (2, 5) ´ (-3, 4) = (-26, -7) On vérifie facilement que (, + , ´) est un corps commutatif (c'est-à-dire : la loi + est associative, commutative, admet un élément neutre (0, 0) et tout élément (a, b) admet un opposé (-a, -b) ; la loi ´ est associative, commutative, distributive par rapport à la loi + , admet un élément neutre (1, 0)

HX3 2006/2007 - Espaces vectoriels 1. Soit E = R∗ × R. On d´finit pour (x, y) et (x , y ) dans E et λ ∈ R : e + (x, y) + (x , y ) = (xx , y + y ) et λ(x, y) = (xλ , λy) V´rifier que E muni de ces lois est un R-espace vectoriel. e 2. 3. Soient X ⊂ R et E = f ∈ RR , ∀x ∈ X, f (x) = 0 . Montrer que E est un R-espace vectoriel pour les lois usuelles. A|x| pour On note E l’ensemble des fonctions f : R −→ R telles qu’il existe a ∈ R+ et A ∈ R+ avec |f (x)| tout x a. Montrer que E est un R-espace

1 1.1 Compléments sur R La droite réelle La droite réelle R =] 1; +1[ est considérée comme munie de: 1 ) son addition "+ "et sa multiplication " " usuelles lui donnant une structure de corps commutatif ( et d’ espace vectoriel sur lui - même ) 2 ) sa relation d’ ordre total " " usuelle 3 ) sa norme x 7! jxj := max(x; x), pour laquelle elle est complète. 1.1.1 Proposition Si O est un ouvert non vide de R, alors il existe une suite (Ik :=]ck ; dk [)k2N d’ intervalles ouverts de R , qui sont

montrer que c’en est un sous-espace vectoriel . D´finition 3 e On appelle alg`bre sur K, tout ensemble A muni de deux lois de composition interne +, × et d’une loi de e composition externe ,., telle que: 1. (A, +, .) soit un K-ev 2. (A, +, ×) soit un anneau, dont l’´l´ment neutre pour la 2`me loi est not 1A . ee e 3. ∀(x, y) ∈ A2 , ∀λ ∈ K, on a: λ.(x × y) = (λ.x) × y = x × (λ.y) D´finition 4 e Soit A une alg`bre, une partie B de A est dite sous-alg`bre de A si elle v´rifie les propri´t´s suivantes: e e

On se place dans un corps commutatif K quelconque, par exemple ℝ (corps des réels) ou ℂ (corps des complexes). Une suite (u_n)_{n \in \N} à valeurs dans K est dite arithmético-géométrique s'il existe deux éléments a et b de K tels que la suite vérifie la relation de récurrence suivante : \forall n\in\N,~u_{n+1}=a u_n+b. Remarque. On peut toujours ramener l'étude d'une suite (un)n ≥ n0 à celle d'une suite (vp)p ∈ ℕ en posant vp = un0 + p1. La suite (un) vérifie une relation de la forme ci-dessus

Planche no 1. Algèbre linéaire I * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile I : Incontournable ***** très difficile no 1 (** I) : Soient F et G deux sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel E. Montrer que : [(F ∪ G sous-espace de E) ⇔ (F ⊂ G ou G ⊂ F)]. no 2 (****) : Généralisation. Soient n un entier supérieur ou égal à 2 puis F1 , ... , Fn n sous-espaces de E où E est un es  pace vectoriel sur un sous-corps K de C. Montrer que (F1 ∪ ... ∪ Fn sous-espace

et alors on résolve (on cherche b) Et alors Et si , l’inverse de est d’où l’inverse de est si et l’inverse de L’ensemble ainsi construit a bien les mêmes propriétés que pour l’addition et la multiplication, celles d’un corps commutatifs (on a aussi la distributivité de la multiplication sur l’addition). Alors on peut utiliser les mêmes méthodes calculatoires : les identités remarquables et on peut résoudre les équations. Exemple : -Calculer en fonction de -Calculer

Suites r´ eelles et complexes Table des mati` eres I. Propri´ et´ es de R 1) Le corps des r´ eels 2) La droite num´ erique achev´ ee 3) Repr´ esentation d´ ecimale d’un r´ eel 4) Parties denses de R II. Limite d’une suite r´ eelle 1) D´ efinition 2) Op´ erations sur les limites 3) In´ egalit´ es et limites III. R´ esultats fondamentaux sur les suites r´ eelles 1) Suites monotones, suites adjacentes 2) Th´ eor` eme de Bolzano-Weierstrass IV. Exemples de suites r´ eelles 1) R´ esum´ e des m´