Anneau commutatif

∗H). Alors f est un morphisme de groupes si : i. ii. iii. ?( ? ? ) = ? ? ∀? ∈ ?, ?( ?)−1 = ? ( ? −1 ) ∀( ?, ?) ∈ ? × ℤ, ? ( ? ? ) = ?( ?) ? 1 ALGEBRE GENERALE ANNEAU SOUS-ANNEAU Un ensemble A muni de deux LCI + ?? × est un Une partie A’ non vide d’un anneau (?, +,×) est anneau si : un sous-anneau de A si : i. (A, +) est un groupe abélien i. (A’, +) est un sous-groupe de (A, +) ii. La loi × est associative ii. A’ est stable pour la loi × iii. (A, ×) possède un élément

appelle groupe un ensemble G muni d’une lci notée ∗ vérifiant les axiomes suivants : L’associativité, l’existence d’un élément neutre et l’existence de l’élément symétrique pour tout élément de G. Si de plus la lci est commutative G est dit groupe commutatif. Exemples :  ℤ, ℚ, ℝ, ℂ pour l‟addition.  ℤ∗ , ℚ∗ , ℝ∗ , ℂ∗ pour la multiplication.(on retire 0 car il n‟est pas inversible)  ℱ(ℝ, ℝ) pour l‟addition.  ?(?) muni de la différence symétrique d‟ensembles.  ?′ ???????? ??? ?????????? ??

45 minutes pour l’exercice 1, 1h15 pour le problème 1, 2h pour le problème 2. Exercice – • Un pseudo-anneau A est un ensemble muni de deux lois de composition interne notées + et ×, telles que (A, +) soit un groupe abélien, et telle que × soit associative et distributive sur +. En revanche, il n’existe pas nécessairement d’élément neutre pour la loi ×. • Un anneau est donc un pseudo-anneau admettant un élément neutre 1A pour la loi ×. • Une partie I de A est appelée idéal bilatère de A si I

Décomposition d’une application Etant donnée une application f : E −→ F , on note E/R le quotient de E par la relation R et pour toute classe x on pose f (x) = f (x), alors : ˙ ˙ f est une application de E/R dans F injective et le diagramme suivant est commutatif. E x s x ˙ f f (x) F ˜ f E|R Décomposition de l’application f . En effet : 1. Montrer que f est une application revient à montrer que f (x) ne dépend pas du repré˙ sentant de la classe x. ˙ ˙ ˙ Soient x, y ∈ E tels que

Décomposition d’une application Etant donnée une application f : E −→ F , on note E/R le quotient de E par la relation R et pour toute classe x˙ on pose f (x) ˙ = f (x), alors : f est une application de E/R dans F injective et le diagramme suivant est commutatif. E f x s E|R f (x) F f˜ x˙ Décomposition de l’application f . En effet : 1. Montrer que f est une application revient à montrer que f (x) ˙ ne dépend pas du représentant de la classe x. ˙ Soient x, y ∈ E tels que x˙ = y, ˙ alors xRy, donc

groupe si 1. la loi ∗ est associative ; 2. G possède un élément neutre : ∃e ∈ G, ∀x ∈ G, x ∗ e = e ∗ x = x ; 3. tout élément de G admet un inverse : ∀x ∈ G, ∃y ∈ G, x∗y = y ∗x = e. Si de plus la loi ∗ est commutative, on dit que le groupe (G, ∗) est commutatif ou encore abélien. Remarque 5.2.1. Dire qu’un ensemble G est un groupe n’a pas de sens si on ne précise pas pour quelle loi. Un groupe est un couple, c’est un ensemble muni d’une loi. Très souvent, on n’utilise pas le symbole de la loi du groupe

si 1. la loi ∗ est associative ; 2. G possède un élément neutre : ∃e ∈ G, ∀x ∈ G, x ∗ e = e ∗ x = x ; 3. tout élément de G admet un inverse : ∀x ∈ G, ∃y ∈ G, x∗y = y ∗x = e. Si de plus la loi ∗ est commutative, on dit que le groupe (G, ∗) est commutatif ou encore abélien. Remarque 9.2.1. Dire qu’un ensemble G est un groupe n’a pas de sens si on ne précise pas pour quelle loi. Un groupe est un couple, c’est un ensemble muni d’une loi. Très souvent, on n’utilise pas le symbole de la loi du groupe

fini. Pour parler d’inverse, il est nécessaire de justifier son existence au préalable. Un ensemble E fini et totalement ordonné s’écrit de manière unique E = {x1 < x2 < · · · < x|E| }. Prendre garde à l’ordre des termes lorsque l’ensemble n’est pas commutatif : (ab)n = an bn ! Si n m dans Z, m k = (n+m)(m−n+1) · k=n 2 2 2 n k 2 = n(n+1)(2n+1) ; n k 3 = ( n k)2 = n (n+1) · k=1 k=1 k=1 6 4 Décomposer un naturel n dans une base d 2. Utiliser Cp = Cn−p , p Cp = n Cp−1 , n Ck = 2n et la relation de Pascal

la donnée d'un ensemble G muni d'une opération possédant les propriétés suivantes. 1. Elle est associative. 2. Elle possède un élément neutre. 3. Tout élément de G admet un inverse. Si de plus l'opération est commutative, on dit que le groupe est commutatif ou abélien. Conventions et notations  Un groupe dont l'opération est représentée par la multiplication sera appelé groupe multiplicatif, son élément neutre sera, sauf mention du contraire, désigné par mention du contraire, son élément neutre

. . . . e III.4 Signature d’une permutation . . . . . . . . . . . . IV Anneaux, sous-anneaux, corps . . . . . . . . . . . . IV.1 Structure d’anneau . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV.2 Calculs dans un anneau . . . . . . . . . . . . . . . IV.3 El´ments remarquables dans un anneau . . . . . . e IV.4 Sous-anneaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV.5 Structure de corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . V Arithm´tique ´l´mentaire . . . . . . . . . . . . . . e ee V.1 Bases