Anneau commutatif

dit élément de torsion si, et seulement si, il existe n ∈ N tel que an = e. Montrer que le sous-ensemble formé des éléments de torsion d’un groupe abélien en est un sous-groupe. Exercice 12 [ 00116 ] [correction] Soient (G, ) un groupe fini commutatif d’ordre n et a ∈ G. a) Justifier que l’application x → a x est une permutation de G. b) En considérant le produit des éléments de G, établir que an = e. Exercice 13 [ 00117 ] [correction] [Théorème de Lagrange] Soit H un sous-groupe d’un groupe

d’après une partie d’ ICARE 96 ) Rappel : On dit que deux ensembles sont isomorphes si on peut construire un isomorphisme de l’un vers l’autre 1. Soit ( A, +, × ) un anneau non commutatif, si x est un élément de A, on note : C ( x) = { y ∈ A, xy = yx} Cet ensemble est appelé centralisateur de x, montrer qu’il est un sous anneau de A 2. A est désormais l’ensemble des matrices carrées d’ordre 2 à coefficients réels  0 1 Soit M 1 =   , étudier la forme des éléments de C ( M 1 ) , et en déduire

≤ n , 1 ≤ k ≤ q ∈ Mn , q ( K ) ∀(i, k ) ∈ [|1, n |] × [|1, q |], (ci , k ) est le produit scalaire • de la ième ligne de A par la kème colonne de B (ci , k ) = p j =1 ai , j × bj , k • Remarques : - Le produit matriciel n’est pas commutatif. Si AB est définie alors BA n’est pas toujours définie. - A² = A x A n’est défini que si A est une matrice carrée. - (A + B)² = A² + 2AB + B² seulement si AB = BA sinon (A + B)² = A² + AB + BA + B² - On peut avoir AB = 0 (matrice nulle) avec

vers R. Structures algébriques • Etant donné f, g dans RD et λ ∈ R, on définit les applications de D vers R : f + g : x → f (x) + g(x) Pour ces lois : RD est un R-espace vectoriel. • On définit également : f g : x → f (x)g(x). Ainsi RD est un anneau commutatif. • Soit T ∈ R. On dit que f ∈ RR est T -périodique lorsque : ∀x ∈ R, f (x + T ) = f (x). L’ensemble des fonctions T -périodiques est un sous-espace vectoriel de RR . λf : x → λf (x) Relation d’ordre Soit f, g dans RD . • La fonction |f |

n+1 ... ; n+0 := n je sais ajouter 0, ; en particulier n + 1 = s(n), n + s(k) := s(n + k) si je sais ajouter k, je sais ajouter s(k) commutative, associative, 0 ´l´ment neutre ; ee - d´finition du produit (n.0 := 0 et n.s(k) := n.k + n) e commutatif, associatif, 1 ´l´ment neutre, 0 ´l´ment absorbant, distributif par rapport ` l’addition ; ee ee a - d´finition de l’ordre (n n ssi n = s(. . . s(n) . . . ) ou encore : ∃k n = n + k), e compatible avec addition et produit (si n n alors n + k n +

d'or. En effet, 987/610 = 1,618 032 7… une précision proche du millionième. Entiers de Q(√5) Article détaillé : Anneau des entiers de Q(√5). Les nombres réels de la forme a + φ.b (avec a et b entiers relatifs) forment un ensemble stable par addition et multiplication, on obtient ainsi une structure équipée d'une addition et d'une multiplication, qu'on appelle un anneau commutatif. L'identité de Brahmagupta, définissant la multiplication se lit : (a + \varphi b)(c + \varphi d) = ac + (ad + bc)\varphi

donc pas une loi de composition interne dans l’ensemble de toutes les matrices, ni même dans Mnp (K) avec n = p ; par contre, c’en est une dans l ensemble des matrices carrées d’ordre n Mn (K) . REM 3 : le produit matriciel n’est évidemment pas commutatif puisqu’un produit peut être possible dans un sens et ne pas l’être dans l’autre. REM 4 : le nombre le nombre d’additions pour effectuer (AB) (i, j) vaut de multiplications d’additions pour effectuer le produit AB vaut de multiplications ...

FORMULE D'INVERSION DE PASCAL         ¡ Soient (ai) 0 i n et (bi) 0 i n des familles d'éléments d'un anneau commutatif A tels que : p k =0 ¢ ¡ ap = Alors : p k C p bk ∀p ∈ 0, n k =0 Preuve par récurrence : On considère la propriété ℘(p) suivante définie pour p ∈ 0, n : j ¢ ¡ k =0 p • D'après la relation ap = k =0 k C p bk particularisée avec p = 0, on obtient : a0 = b0. D'où ℘(0). • Montrons que : ∀p ∈ 0, n − 1 , ℘(p) Soit p ∈ 0, n − 1 . Supposons donc

; plus précisément : si f ∈ L (E, F ) et g ∈ L (F, G) alors g ◦ f ∈ L (E, G) D10 La composition des application définit donc une loi de composition interne dans L (E) ; on a alors la structure remarquable : PROP : (L (E) , +, ◦) est un anneau, qui est non commutatif et non intègre dès que dim E D11 Exemple d’application : avec la notation des affinités ci-dessus : fa ◦ fb = fab IV) NOYAU ET IMAGE D’UNE APPLICATION LINÉAIRE. 1) Noyau. a) Définition et premières propriétés. DEF : le noyau d’une application

dont on déterminera la dimension. Exercice 24 [ 01266 ] [correction] Soit E l’ensemble des matrices de la forme  (a, b) ∈ K 2 . a) Montrer que E est un sous-espace vectoriel de M2 (K), en donner une base. b) Montrer que E est un sous-anneau commutatif de M2 (K). c) Déterminer les inversibles de E. d) Déterminer les diviseurs de zéro de E. a M (a, b, c) =  0 0 b a 0  c b  a Exercice 27 [ 01563 ] [correction] On dit qu’une matrice A = (ai,j ) ∈ Mn (K) est centro-symétrique si