Canonique

C(q) = 14q. 1. Expliquez pourquoi le nombre C(q) – P(q) traduit la rentabilité correspondant à la fabrication de q machines-outils. 2. On considère la fonction définie sur [0 ;20] par : f(x) = - 2x² + 40x – 102. a) Donner la forme canonique de f. b) En déduire le tableau des variations de f. c) Construisez dans un repère la courbe Cf représentant la fonction f. (Utiliser la calculatrice pour rempli un tableau des valeurs de f). 3. En utilisant la courbe Cf, déterminez

x+b²/4a²=(x+b/2a)² f(x)=[(x+b/2a)^2-b^2/(4a^2 )]+c f(x)=a(x+b/2a)^2-b^2/4a+c f(x)=a(x+b/2a)^2-b^2/4a+(c "x " 4a)/4a f(x)=a(x-(-b/2a))^2-(b^2-4ac)/4a On pose ∆=b^2-4ac. Ce nombre ∆ est appelé le discriminant du trinôme ax+bx+c. On obtient ainsi la forme canonique de f : f(x)=a(x-((-b)/2a))^2-∆/4a Exemple : Pour tout réel x, f(x)=-2x^2+12x-14. On calcule le discriminant de f : a=-2 b=12 c=-14 〖12〗^2-4*(-2)*(-14)=144-112=32 On calcule (–b)/2a "et " (-∆)/4a (-b)/2a=(-12)/(2*(-2))=(-12)/(-4)=3

ES - Cours M. Delgado Fonctions polynômiale du second degré I Forme réduite et forme canonique 1) Définition Une fonction polynômiale P du second degré, ou trinôme du second degré, est définie sur R et s’écrit sous la forme réduite P (x) = ax 2 + bx + c où a, b et c sont trois nombre réels quelconques avec a = 0. b Une fonction polynômiale P du second degré peut aussi s’écrire sous forme canonique P (x) = a(x −α)2 +β avec α = − . 2a 2) Interprétation graphique Propriété : la représentation

Contre exemple : a= 0 f(x) = 3x – 2 c'est une fonction affine. 2) Différente formes : Forme développer de f : f(x) : x² – 4x – 5 forme factorisé de f : f(x) = (x +1)(x -5) prouver : (x +1)(x -5) x² - 5x + x -5 = x² - 4x -5 Forme canonique de f : f(x) (x -2 )² – 9 (x -2)² – 9 = x² – 4 – 5 | Rappel : ( A – B )² = A² -2AB + B² | 3) Représentation graphique : x | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | f( x) = x² | 0 | -5 | -8

UE3-MIAS-MASS. Il faut cependant se rappeler qu’il ne s’agit en aucun cas d’abr´eviations ; ces symboles ne doivent jamais apparaˆıtre dans une phrase en langage courant. Pour caract´eriser les ´el´ements d’un ensemble, on utilisera aussi la notation (non canonique !) : | qui se lit ”tel que” : par exemple, {x ∈ R | x ≥ 0} est R+ . 1 1.2 Rappels L’ensemble C des nombres complexes est l’ensemble qui : • Contient tous les nombres r´eels • Est muni d’une addition et d’une multiplication v´erifiant

15/10   1. cherchons l'équation de la parabole sous la forme y=f(x), avec f(x)=ax² + bx + c, où a, b, c sont 3 réels à déterminer : • On a : f(0)=1,5 donc c=1,5 • la forme canonique de la fonction est f(x)=a(x-­‐20)²+4 b = 20 d’où b = −40a 2a • de plus, l'abscisse du sommet est α= − • et en développant la forme canonique, on obtient : f(x)=ax²-40ax+a400+4 • on  en  déduit  que  400a  +  4  =  1,5  d'où   a = € − • • donc   b = −40a = 0,25 conclusion  :  f(x)=-­‐0

Fiche méthode sur la forme canonique Rappels sur les identités remarquables Pour réussir à mettre une expression sous forme canonique , il faut connaître et savoir manipuler parfaitement les identités remarquables Exemple Mais il faut aussi savoir factoriser une expression donnée : Exemple Factoriser : On remarque d’abord qu’il y a un « moins » donc il s’agit de l’identité remarquable Ensuite , on associe chacun des termes ( les morceaux) : on voit immédiatement que le « a » correspond au « x »

Activit´ de math´matiques e e Forme canonique d’un trinˆme du second degr´ o e On appelle trinˆme du second degr´ une expression litt´rale de la forme ax2 + bx + c avec o e e a, b, c ∈ R. Factoriser en une ´tape ` l’aide des identit´s remarquables e a e On rappelle les trois identit´s remarquables : e (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a − b) 2 2 2 (1) (2) (3) a −b = a − 2ab + b 2 2 = (a − b)(a + b) En utilisant dans chaque cas l’une de ces ´galit´s, factoriser chacun des trinˆmes

Comment obtenir la forme canonique On souhaite mettre sous forme canonique l’expression suivante : f(x) = x2-6x-7 | | | x2-6x est le début de l’identité remarquable (x-3)2on a (x-3)2=x2-6x+9 d’où (x-3)2- 9=x2-6x que l’on remplace dans f(x) | f(x) = (x-3)2- 9-7 | | | On continue le calcul en conservant la forme (x-3)2 | f(x) = (x-3)2-16 | | Informations que nous donne cette expression f(x) = (x-3)2-16 pour x=3, on obtient le minimum de la fonction

fonction affine. 2- Forme canonique : La forme canonique d'un trinôme f (x )=a x 2+b x+c est a (x−α)2+β avec α=− b et β= f (α) 2a Exemple : Déterminer la forme canonique du trinôme f (x )=2 x 2 +4 x−5 a=2 ; b=4 et c=−5 . 4 =−1 2×2 et β= f (−1)=2×(−1)2 +4×(−1)– 5=−7 Alors α=− La forme canonique de f (x ) est donc f (x )=2 ( x+1)2−7 . 3- Étude des variations de f : → a x 2+b x+c f (x )=a x 2+b x+c (forme développée) ou encore a ( x−α)2+β (forme canonique) avec α=− b et β=