Canonique

degré 1 (fonction affine). - est une fonction polynôme de degré 4. II. Forme canonique d'une fonction polynôme de degré 2 Méthode : Déterminer la forme canonique d'une fonction polynôme de degré 2 Soit la fonction f définie sur ℝ par : . On veut exprimer la fonction f sous sa forme canonique : (x - )2 +  où ,  et  sont des nombres réels. est la forme canonique de f. Propriété : Toute fonction polynôme f de degré 2 définie sur ℝ par peut s'écrire

UE3-MIAS-MASS. Il faut cependant se rappeler qu’il ne s’agit en aucun cas d’abr´viations ; ces symboles ne doivent jamais apparaˆ dans une phrase en langage courant. e ıtre Pour caract´riser les ´l´ments d’un ensemble, on utilisera aussi la notation (non canonique !) : e ee | qui se lit ”tel que” : par exemple, {x ∈ R | x ≥ 0} est R+ . 1 1.2 Rappels L’ensemble C des nombres complexes est l’ensemble qui : • Contient tous les nombres r´els e • Est muni d’une addition et d’une multiplication v´rifiant

Partie 1  1.1  1. Forme canonique disjonctive :  f(a,b,c)=a.b+a.c+b.c   = a.b.(c + c) + a.c(b + b) + b.c.(a + a)   = abc + abc + abc + abc + abc + abc Forme canonique conjonctive :  f (a, b, c) = a.b + a.c + b.c = (a + b)(a + c)(b + c) = (a + b)(a + c)(b + c)   = (aa + ac + ab + bc)(b + c) = aab + abc + abb + bbc + aac + acc + abc + bcc = abc + acc + abc + bcc   2. Table de vérité :  A  B  C  ab  ac   bc   f  0  0  0  0  0  0  0  0  0  1  0  1  1  1  0  1  0  0  0 

second degré. II) Forme canonique 1) Définition et mise en place. Soit la fonction définie sur par un polynôme du second degré. = Comme a  0 , pour tout réel , on a = Or ² Donc = = et enfin = ² 0, ² ² ² ² , avec a ² ² Cette écriture s’appelle forme canonique du trinôme . Exemple 1: Soit = ² – 3 + – Exemple = ² – 3 + ( – )2 – donc + sous forme canonique. et enfin – 2 :

K2 0 A K1 Rampe A p2 ∞ A K1 ∞ Résolution des équations du 1er ordre 3 3.1 Forme habituelle 3.1.1 FTBO Forme canonique : K = 10 τ = K 1+τ p Val en dB 20 1 w45 1 Z2 3.1.2 FTBF K K = 1+K τ = CourbedeN iccholls45degr. 3.2 Avec intégrateur 3.2.1 FTBO Forme canonique : KBO (1+τ p)τ Ne pas suivre les courbes de phase de Nicholls. wn : La courbe commence à 90◦ → On prend la valeur à 90 + 45 = 135◦ , on obtient

IdC 2A Jeudi 16 octobre La méthode du simplexe sur un exemple. 1 Mise en place du cadre. On étudie le programme linéaire suivant écrit sous forme canonique : max z = 5x + y   x    30x + y  y sous contraintes   x    y Dénition 1.1 On appelle variable d'écart la quantité mer une contrainte d'inégalité en contrainte d'égalité. ≤ 4 ≤ 150 ≤ 60 ≥ 0 ≥ 0 positive qui permet de transfor- Ici, on a trois contraintes donc on ajoute trois variables

SERIE D’EXERCICES 1 Probl`me 1 e a) Forme canonique : Maximiser z = s.c. 2x1 1 3 x1 − 1 x1 3 −2x1 x1 x1 − x+ 2 + x+ 2 − x+ 2 + 5x+ 2 + x+ 2 , x+ 2 + x− 2 − x− 2 + x− 2 − 5x− 2 − x− 2 , x− 2 ≤ 2 ≤ −2 ≤ 7 ≤ 4 ≥ 0 avec x2 = x+ − x− . 2 2 Forme standard : Maximiser z = s.c. 2x1 1 3 x1 −2x1 x1 x1 − x+ 2 + x+ 2 + + 5x2 + x2 , x+ 2 + x− 2 − x− 2 − − 5x2 + x3 − x− + x4 2 , x− , x3 , x4 2 = = = ≥ 2 7 4 0 toujours avec x2 = x+ − x− . 2 2 b) Forme canonique : Maximiser z = 3x1 ¯ s.c. −x1 + 1 − 2 x2

II – Problèmes du second degré – Equations du second degré  1 ‐ Equations du second degré        a – Définition  Soient  ,  trois réels avec    degré d’inconnue x  0 . L’équation  0  est dite équation du second        b – Forme canonique  0    est appelée la forme canonique de  Démonstration :  2               c – Discriminant  Le réel   4  est noté   et appelé le discriminant de l’équation du second  0                         yosri_prof@yahoo.fr         /                  Tel :23 356 901   

représentation graphique d’une fonction polynôme du second degré : Une fonction polynôme ou (trinôme) du second degré est une fonction définie sur. Elle peut s’écrire sous la forme f(x)= ax²+bx+c où a≠0,b et c sont trois nombres réels. a) Forme canonique Toute fonction trinôme du second degré peut s’écrire sous la forme : f(x)= a (x - )²+  = = f( . b) Représentation graphique Le sens d’une parabole dépend du signe du coefficient a. En effet si a > 0 la parabole est tournée

appartiennent-ils à f f? ? Exercice 2 Soit la fonction P définie sur ℝ par P(x) = -2x2 - 12 x - 26. 1) Montrer, en développant, qu’une forme canonique de ce polynôme de degré 2 est -2(x + 3)2 – 8. 2) Dresser alors le tableau de variation de P. 3) En déduire le signe de P(x). Exercice 3 On considère le trinôme R(x) = 16 x2 - 192 x + 551. 1) a) Montrer qu’une forme canonique de R(x) est 16(x - 6)2 – 25. b) Dresser alors le tableau de variation de R. 2) a) Montrer qu’une forme factorisée de R(x) est (4x - 29)(4x