Canonique

est : Le minimum de f est : Il est atteint pour x = Il est atteint pour x = Il est atteint pour x = Il est atteint pour x = 5. Retrouver la forme canonique de chaque fonction (en développant chaque forme canonique) : ……… = (x + 3)² – 10 ……… = (x – 3)² – 1 ……… = (x – 2)² – 2 ……… = (x – 1)² – 3 6. Quel est semble être le lien entre la forme canonique de chaque fonction et les résultats de la question 4. ? 

quelconques, avec a = 0. • Une forme canonique pour l’´equation du second degr´e ax2 + bx + c = 0 est une expression dans laquelle n’apparaˆıt qu’une seule fois l’inconnue x. Ex : • x2 + 2x + 1 = 0 est une ´equation du second degr´e (a = 1, b = 2 et c = 1), et x2 + 2x + 1 = (x + 1)2 = 0 est une forme canonique de cette ´equation. • x2 + 2x + 3 = 0 a pour forme canonique x2 + 2x + 3 = (x2 + 2x + 1) + 2 = (x + 1)2 + 2 = 0. Exercice 7 Mettre sous forme canonique : Y. Morel R´esolution d’´equations

P un probl`me de PL (appel´ primal) sous la forme canonique : e e Max z = cx Ax ≤ b x≥0 avec A(m, n), c(1, n), x(n, 1), b(m, 1) alors le probl`me dual est : e Min ω = yb yA ≥ c y≥0 avec y(m, 1) Proposition 1 Le dual du dual est le primal. Rappel : la transpos´e d’une matrice A(m, n) = (ai,j ) est la matrice tA (n, m) = (aj,i). e On a ttA = A et tAB = tB tA , t−A = −tA , si A ≤ B alors tA ≤ tB . On met le dual sous forme canonique : −Max ω = −yb −yA ≤ −c y≥0 puis −Max ω = t−b

Second degré 1 Forme réduite et forme canonique Définition : Une fonction polynôme f de degré n est une fonction définie sur Ë par f( x)=an x n +an−1 x n−1+… +a2x 2+a1x+a0 où les coefficients a0, a1 ,…, an−1 sont des réels quelconques et an est un réel non nul. Première ES / L Exemples : • f : x → 5x 6+2x 3−1 et g : x → x 3−x sont des fonctions polynômes de degrés respectifs 6 et 3. 2x 2+3x+1 • u : x → x+1 et v : x → ne sont pas des fonctions polynômes. x−1 Propriété : (admise et Hors Programme)

5 Pour s’entraîner avec les outils de 1ère Forme canonique : 1°) Compléter par les nombres qu’il faut : (x + 9)2 = x 2 + 18x + 81 ; x − 72 (3x − 5)2 = 9x 2 − 30x + 25 ; 2 = x 2 − 7x + 49 4 5x + 65 2 36 = 25x 2 + 12x + 25 2°) Mettre sous forme canonique : f (x) = (x + 3)2 − 12 ; g (x) = 3(x + 1)2 − 2 ; h (x) = −5 x 2 + 12 6 x + 7 = −5 x + x 5 5 2 + 7 71 ; p (x) = −2 x − 5 4 2 − 47 8 3°) Sans développer, mettre sous forme canonique : f (x) = (x + 1)2 −4 ; g (x) = 2(x + 4)2 −8 ; h (x)

Devoir maison de math´ematiques n◦1 Exercice 1 Exprimer chacun des trinˆ omes ax2 + bx + c suivants sous sa forme canonique a(x − m)2 + n : x2 − 4x + 7 x2 − 2x − 6 x2 + 3x + 2 2x2 − 20x + 59 3x2 + 4x + 7 Exercice 2 Factoriser chacun des trinˆ omes suivants : x2 + 6x + 9 x2 + x − 2 2x2 − 10x + 12 3x2 + 13x + 4 Exercice 3 ´ Etudier le signe sur R des fonctions suivantes : f1 (x) = x2 − x − 6 f2 (x) = x2 + 2x + 8 f3 (x) = 2x2 + 4x − 6 f4 (x) = −2x2 − 5x + 3 Exercice 4 R´esoudre les (in)´equations

Exercices corrig´ es 2011 – 2012 Classe de Premi` ere S Exercice 1 : D´eterminer la forme canonique des fonctions trinomes suivantes : 1. f (x) = −2x2 + 12x − 14 2. f (x) = 2x2 − x + 1 3. f (x) = 2x2 − x − 1 4. f (x) = 2x2 − x − 15 1 3 5. f (x) = x2 − x − 2 2 1 2 6. f (x) = − x − 2x − 5 5 1 2 7. f (x) = − x + x + 3 3 5 8. f (x) = 3x2 − x + 12 Exercice 2 : R´esoudre les ´equations suivantes : 1. 4x2 + 12x + 9 = 0 √ 1 2. x2 − 2x + = 0 2 √ 3. 3x2 − 6x + 1 = 0 4

degr´ e Enonc´ e Mettre sous forme canonique P1 (x) = 2x 2 + 8x − 2 P3 (x) = −x 2 + 2x + 5 P2 (x) = x 2 + 3x + 1 P4 (x) = 3x 2 + x − 4 Les polynˆ omes du second degr´ e Mettre sous forme canonique P1 (x) = 2x 2 + 8x − 2 Mettre sous forme canonique P1 (x) = 2x 2 + 8x − 2 R´ eponse on a P1 (x) = 2x 2 + 8x − 2 Mettre sous forme canonique P1 (x) = 2x 2 + 8x − 2 R´ eponse on a P1 (x) = 2x 2 + 8x − 2 donc P1 (x) = 2( Mettre sous forme canonique P1 (x) = 2x 2 + 8x − 2 R´ eponse on

sont des nombres réels. - La forme canonique : f(x)= a(x-α)² +β. « α » et « β » peuvent être égal à zeros. B] Représentation graphique de la fonction trinome ou polynome du second degrés Une fonction trinome ou polynome du second degrés est representé graphiquement par une parabole avec des branche vers le haut ou vers le bas : - Si on prend la forme dévelloper générale de la fonction polynome du second degrés : « ax²+bx+c » et sa forme canonique générale a(x-α)² + β :

*Devoir maison 1ère* ES1-ES2 Mardi 8 Décembre 2009 Soit f:R→R Cette forme s’appelle la forme canonique de f(x). En déduire le tableau de variations de f Tracer avec beaucoup de soin, sur papier millimétré, la parabole (P1) qui représente f. Résoudre graphiquement puis par le calcul les équations suivantes : Résoudre graphiquement puis par le calcul l’inéquation f(x)≥0 _(on fera apparaître sur le dessin toutes les constructions indispensables