Cours Produit Scalaire

coefficients de la matrice A. Exemple 2 Si √ 3 °2 A= 1 7 ! et √ ! 0 5 B= 2 °1 alors √ ! 3 3 A+B = . 3 6 3 Par contre si √ °2 B0 = 8 ! alors A + B0 n’est pas définie. Définition 4. Produit d’une matrice par un scalaire ° ¢ ° ¢ Le produit d’une matrice A = a i j de M n,p (K) par un scalaire Æ 2 K est la matrice Æa i j formée en multipliant chaque coefficient de A par Æ. Elle est notée Æ · A (ou simplement Æ A). Exemple 3 Si √ ! 1 2 3 A= 0 1 0 et Æ=2 alors √ ! 2 4 6 ÆA = . 0 2

LM100 18 mai 2005 Formulaire (Ce que vous devrez savoir par cœur à la fin du cours) Trigonométrie cos(α + nπ ) = (−1) cos α sin(α + nπ ) = (−1) n sin α n π  cos − α  = sin α 2  π  sin  − α  = cos α 2  cos(a + b) = cosa cosb − sin a sin b sin(a + b) = sin a cosb + sinb cosa cos2 a + sin2 a = 1 Toutes les autres formules se retrouvent à partir des formules ci-dessus. cos(2a) = cos a − sin a sin(2a) = 2 sin a cosa cos p + cos q = 2 cos p+q p−q cos 2 2 p+q p−q sin

Cours d’analyse de donn´es e Jean-Marc Lasgouttes Jean-Marc.Lasgouttes@inria.fr Magist`re de Finance de Paris 1, 2` ann´e e e e Introduction qu’est-ce que l’analyse de donn´es ? e http://www-roc.inria.fr/~lasgoutt/ana-donnees/ Cours d’analyse de donn´es — Jean-Marc Lasgouttes — ann´e 2010-2011. e e Cours d’analyse de donn´es — Jean-Marc Lasgouttes — ann´e 2010-2011. e e 1 Exemple : la temp´rature en France e janv 7.7 4.2 4.6 1.1 7.6 5.6 6.1 2.6 1.3 0.5 1.5 2.4 3.1 2.1 5.5 5.6

Cours de mathématiques Classe de première S Olivier Péault 26 juin 2008 Table des matières 1 Généralités sur les fonctions 1/ Opérations sur les fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2/ Sens de variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3/ Représentations graphiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 4 5 6 2 Polynômes du second degré 1/ Généralités sur les polynômes . . . . . . . . . . . . . . .

chapitre 13 Applications du produit scalaire Travaux dirigés TD 1 1. AM ( x – x 0 ; y – y 0 ) AM et u colinéaires donc ( x – x 0 ) – ( y – y 0 ) = 0 ou x – y – x 0 + y 0 = 0 . On obtient une équation de la forme ax + by + c = 0 avec a = , b = – et c = y 0 – x 0 . Il en résulte qu’une droite d a une équation de la forme ax + by + c = 0 et comme = – b et = a le vecteur u ( – b ; a ) est un vecteur directeur. 2. a) Les coordonnées de A vérifient ax + by + c = 0 donc A ∈ E . c b) AM  x ; y + --

Table des mati` eres Cours de m´ ecanique des milieux continus d’Emmanuel Plaut ` a Mines Nancy. Introducto 7 1 Mod` ele du milieu continu - Cin´ ematique ´ el´ ementaire 9 1.1 1.2 1.3 Mod`ele du milieu continu solide ou fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.1.1 Quels milieux c’est-` a-dire : quelle mati`ere et quelles ´echelles ? . . . . . . . . . . . . . . 10 1.1.2 La perception continue r´esulte d’une prise de moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . .

Cours optimisation On appelle problème d’optimisation la donnée d’une instance de la forme minimiser/maximiser f (x) sous les conditions gi (x) ≤ 0 ∀i ∈ {1, . . . , m} hj (x) = 0 ∀j ∈ {1, . . . , m } avec f : Rp → R une fonction objectif et gi , hj : Rp → R des fonctions de contraintes. L’ensemble des points {x ∈ Rp | gi (x) ≤ 0 ∀i ∈ {1, . . . , m}, hj (x) = 0 ∀j ∈ {1, . . . , m }} est appelé ensemble de candidats. S’il est non vide, on appelle solution du problème d’optimisation

aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa aaaaaaaaaaaaaa 1 Algèbre linéaire dans R2 et R3 1.1 Vecteurs de R2 et R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Vecdjzdjkszjc ozkd zl zleteurs et combinaisons linéaires . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Produit scalaire, norme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 La notion de matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Ecriture matricielle d’une combinaison linéaire . . . .

Cours d’Analyse e Licence 1`re ann´e – 2008/2009 e Nicolas Prioux Universit´ Paris-Est Marne-la-Vall´e e e Table des mati`res e I 1 1.1 Fonctions ` une variable a Fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rappels et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Symboles Math´matiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

= −5k −4 = 2k , or ce système est impossible (trois valeurs de k diffé 1 = −7k rentes). Les points A, B et C ne sont pas alignés. → − b. le vecteur n (1 ; −1 ; −1) est orthogonal à AB car le produit scalaire est → − −−→ −3 + 4 − 1 = 0 le vecteur n (1 ; −1 ; −1) est orthogonal à AC car le produit scalaire est égal à −5 − 2 + 7 = 0. → − Donc le vecteur n (1 ; −1 ; −1) un vecteur normal au plan (ABC). c. Une équation du plan (ABC)est de la forme 1×x+(−1)×y +(−1)×z+d = 0, donc x − y − z + d = 0 or