Dérivabilité

Corrigé du DS n° 5 – 28 février 2013 Exercice 1 (5 points) Pondichéry 2010 Partie A - Restitution organisée de connaissances : Soit a et b deux réels tels que a < b et f et g deux fonctions continues sur l’intervalle [a ; b]. On suppose connus les résultats suivants : Pour tous réels et  : . Si pour tout , alors . Montrer que : si pour tout , alors . et sont deux fonctions continues sur un intervalle donc est continue sur . Pour tout de donc donc et donc soit . Partie

Définition de la fonction dérivée   Soitun intervalle de  et soit f une fonction définie sur .  On dit que la fonction f est dérivable sur  si elle  est dérivable en tout nombre réel  de . Dans ce cas, la fonction qui à tout associe le nombre dérivé  de f en  s’appelle la fonction dérivée de f. On la note :            Exemple   Soit f la fonction définie sur  par :  Soit  On a :        Lorsque h tend vers 0,  tend vers  donc  La fonction f est donc dérivable en , pour tout 

> Primitives Notions d’intégrale Séquence 6 – MA01 159 © Cned – Académie en ligne Chapitre 1 > Cours ............................................................................................................................................................................... 163 A Primitives d’une fonction continue sur un intervalle B A Exercices d’apprentissage (Série 1) C A Primitives et calculs d’aires D Intégrale d’une fonction continue sur un intervalle

Chapitre 1 Fonction d'une variable réelle I Fonctions et courbes de référence Soit f une fonction définie sur un intervalle I sur R, on appelle représentation graphique de f, l'ensemble Cf des points de coordonnées ( x ; f(x) ) avec x ₤ I. La courbe Cf a pour équation y = f(x). 1/ La fonction affine On appelle fonction affine toute fonction f définie sur R par f(x) = ax + b où a et b sont deux réels donnés. Remarque si a = 0 alors f(x) = b, la fonction f est constante. si b

Equa diff suite Object 1 Deux cas sont étudiés : y' = ay et y' = ay + b où a et b sont des constantes réelles données. Ce sont des cas particuliers d'équations linéaires du 1er ordre. Les solutions sont respectivement : y = keax et y = keax -b/a On étudie ici le cas général. La fonction exponentielle correspondant à y' = y et y(0) = 1 étant supposée connue, par exemple en tant que fonction réciproque de la fonction logarithme népérien ou en tant que fonction f, non nulle, dérivable sur

Correction Bac ES – Amérique du Nord – juin 2010 EXERCICE 1 (5 points) On considère la fonction définie et dérivable sur l’intervalle [–2 ; 11], et on donne sa courbe 1) (0) est égal à 2 : réponse B En effet, la tangente à la courbe au point d’abscisse 0 a pour coefficient directeur 2. 2) (x) est strictement positif sur l’intervalle ]–2 ; 2[ : réponse C. En effet, la fonction étant strictement croissante sur ]–2 ; 2[, sa fonction dérivée positive sur ]–2 ; 2[. ci-dessous. sera

Calcul intégral Chapitre 4 1er SRI&DSI I – Les primitives : Dans tout ce chapitre I désigne un intervalle différent d'un singleton . I - 1 Primitive d’une fonction : Définition : Soit f : I → ℝ ,une fonction .On dit qu'une fonction F : I → ℝ est une primitive de f sur l'intervalle I si F est dérivable sur I et si : ∀x ∈ I : F ′( x) = f ( x) . Proposition 1: Soit f : I → ℝ ,une fonction admettant une primitive F sur I .Soit G : I → ℝ ,une fonction. Alors G est une primitive de f

Dérivation. 1. La tangente à une courbe en un point P, est la droite dont la position est la limite des positions des sécantes PQ quand Q se rapproche de P Pente de PQ=fx-f(a)x-a Pente de t =limx→afx-f(a)x-a 2. Comme t est la limite des positions des sécantes PQ quand Q se rapproche de P alors la pente de la tangente t est la limite de la pente de PQ quand Q se rapproche de P. 3. Soit une fonction f définie sur un intervalle ouvert I C R et a ∈ I le nombre dérivé de f en a ,noté

BACCALAURÉAT TECHNOLOGIQUE SÉRIE SCIENCES ET TECHNOLOGIES INDUSTRIELLES' OPTIONS :*GÉNIE MÉCANIQUE B, C, D, E et GÉNIE DES :MATERIAUX SESSION 2010 ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Durée 4 heures - Coefficient 4 Le sujet comporte 3 pages. 2 feuilles de papier millimitré seront remises au candidat avec le sujet. L'usage des calculatrices est autorisé (circulaire n 99-186 du 16-11-1999) Le formulaire officiel de lnathématiques est joint au sujet. 0 lOMAI2ME1 1/3 Le

Correction de l’exercice 1 du Bac S – Am. du Sud – Nov. 2007 Exercice 1 (4 points) Commun à tous les candidats 1) Dans cette question, on demande au candidat d’exposer des connaissances. On suppose connu le résultat suivant : La fonction xe x est l’unique fonction dérivable sur R telle que ’= et (0) = 1 Soit a un réel donné. Montrer que la fonction f définie sur R par f(x) = e a x est solution de l’équation y’ = a y. Pour tout x réel ; f ’(x) = a e a x = a f(x) donc f est solution