Dérivabilité

Calcul de dérivées Exercice 6 [ 01355 ] [correction] Après avoir déterminé le domaine d’existence, calculer les dérivées des fonctions suivantes : 1 sin x arctan x b) x → c) x → a) x → 2 x +1 (x + 1)2 (cos x + 2)4 Dérivabilité Exercice 1 [ 01354 ] [correction] Etudier la dérivabilité des fonctions suivantes x2 − x3 a) x → b) x → (x2 − 1) arccos(x2 ) Exercice 7 [ 00737 ] [correction] Après avoir déterminé le domaine d’existence, calculer les dérivées des fonctions suivantes : Exercice 2 [ 00736

dérivable partout sauf en 3 et en 6 Fonction dérivable nulle part (mais continue partout) b) Dérivée des fonctions de référence Fonction définie par Fonction dérivée définie par ( ) ( ) k (constante) 0 x n ( n ) 1 x x nx n 1 Ensemble de dérivabilité   si n  0 , * si n  0 , *  1 x2 1 sin x cos x tan x 2 x cos x  sin x 1  1  tan 2 x 2 cos x 0;    \{ k , k } c) Opérations sur les fonctions dérivables Fonction uv ku ( k ) uv 1 v u v 3) Signe de la dérivée

commence par écrire le DL de ex en 0 à l'ordre 3 : (( est une fonction quelconque de limite nulle en 0) [pic] puis celui de e(x : [pic] et enfin celui de sh(x) : [pic] 10. On obtient alors pour f : [pic] donc f est continue en 0. Pour la dérivabilité de f en 0 : [pic] Donc f est dérivable en 0, et f '(0) = 0. 11. f est dérivable sur R+* et sur R(* car c'est le quotient de deux fonctions dérivables avec le dénominateur qui ne s'annule pas. Pour tout x différent de 0 : [pic] 12. h(x) = sh(x)

(0) 1 − h2 − 1 √ =√ . = = Pour −1 ≤ h ≤ 1 avec h = 0, 2 h h h( 1 − h + 1) 1 − h2 + 1 √ f (h) − f (0) 1 − h2 − 1 = = 0. Or lim 1 − h2 + 1 = 2 donc lim h→0 h→0 h h La fonction f est alors dérivable en 0 et f (0) = 0. 1.3 dérivabilité et continuité Propriété : f est une fonction définie sur un intervalle I, a est un réel de I. Si f est dérivable en a, alors f est continue en a. Démonstration : On suppose que f est dérivable en a, c’est à dire, pour h = 0 tel que a + h ∈

la dérivée de f (x) signifie trouver l’expression de f’ (x) . Dans certains cas nous avons des formules qui permettent le calcul de la dérivée sans utiliser la définition. III - DERIVEES DES FONCTIONS USUELLES f (x) f’ (x) INTERVALLE DE DERIVABILITE ax + b a IR x² 2x x n, n ∈IN * \ {1} n x n−1 IR IR 1 x 1 − 2 x IR * 1 , n ∈IN * n x n − n +1 x IR * x 1 2 x ]0;+∞[ IV - DERIVEES ET OPERATIONS SUR LES FONCTIONS − u et v sont des fonctions dérivables sur l’intervalle

x) ≤ g(x) ∂t presque partout en x. Alors F est définie et dérivable en tout point de I, de dérivée : F (t) = X ∂f (t, x)dµ(x) ∂t Remarque : Le théorème précédent est en fait un corollaire d’un résultat plus général dans lequel la dérivabilité supposée et obtenue se limite à un seul point. L’hypothèse de domination se fait sur le taux d’accroissement dans ce cas là ; on la retrouve d’ailleurs ici grâce au théorème des accroissements finis. Théorème :(Intégration à paramètre complexe)

0 Ce qui prouve la continuité de la fonction ln en a. Donc la fonction ln est continue sur  * . + 2.4. Théorème Dérivabilité du logarithme La fonction ln est dérivable sur  * et pour tout x Î  * : + + ln'(x) = 1 x Démonstration : On pourrait utiliser le théorème de dérivation de l'application réciproque (voir théorème 5.3. dans la leçon sur la dérivabilité) mais celui-ci est hors programme. Procédons par changement de variable. Soit x Î  * fixé. Étudions la limite, lorsque

Etudier le sens de variation des fonctions hn. 2. Calculer hn(0), puis en déduire le signe de hn. 3. Etude du cas particulier n = 1. a. Après avoir justifié la dérivabilité de f1 sur ]−1, +∞[, exprimer f1'(x) en fonction de h1(x). b. En déduire les variations de la fonction f1 sur 1−1, +∞[. 4. Soit n ∈ N* \ {1}. a. Justifier la dérivabilité de fn sur ]−1, +∞[ et exprimer fn'(x) en fonction de hn(x). b. En déduire les variations de fn sur ]−1, +∞[. (On distinguera les cas n pair et n impair). On

Proposition 5.1 Continuité Soit f une fonction bornée telle que pour tout x ∈ I un intervalle, t → f (x, t) est continue par morceaux sur [a, b]. Si pour tout t ∈ [a, b] fixé x → f (x, t) est continue sur I alors F est continue sur I. Proposition 5.2 Dérivabilité ∂f Si est continue sur I × [a, b] et si pour tout x ∈ I, t → f (x, t) est continue ∂x par morceaux sur [a, b] alors F est dérivable sur I et de plus b F (x) = a ∂f (x, t)dt. ∂x 6 Intégrale généralisée dépendant d’un paramètre Soient

f(a)) une tangente dont le coefficient directeur est f ’(a). Une équation de cette tangente est : f (a + h) − f (a) h f ( x) − f (a) ou f '(a) = lim x →a x −a f '(a) = lim h →0 Illustration y = f '(a)(x − a) + f (a) Existence d’une tangente et dérivabilité La fonction racine carrée de même que les fonctions x ↦ xα avec 0 < α < 1 ne sont pas dérivables en 0. Leurs courbes admettent cependant une tangente verticale au point origine d’abscisse 0. 3 y=rac(x) 2 y=x^1/4 1 0 1 2 3 4 5 1 25/09/2014