Dérivabilité

[, on a f ′( x) = g( x) . Dresser le tableau de variations de f sur ]0 ; +∞ [. 2. Etude de f en 0 1   a. Montrer que x ln  1 +  tend vers 0 quand x tend vers 0 par valeurs suprieures. Que peut-on en x²   conclure ? b. Etudier la dérivabilité de f en 0. c. Préciser la tangente à la courbe de f au point O. 3. Donner l’équation de la tangente au point d’abscisse 1. 4. Donner l’allure de (C). Correction 1   1. a. g est dérivable comme somme de fonctions dérivables. En effet

sens si, par exemple, d(x, y) désigne la distance entre deux points x, y dans le plan ou dans Rn . On peut donc définir les applications continues de Rn dans Rm exactement de la même manière. On en parlera au cours des trois premiers chapitres. Dérivabilité Pour n’importe quelle fonction f : I → R et x, y ∈ I avec x = y, la pente est définie par f (x) − f (y) P (x, y) := . (0.1) x−y (NC) (∃ε > 0) (∀δ > 0) (∃x ∈ I ∩ Bδ (a)) d(f (x), f (a)) > ε. (C) (∀ε > 0) (∃δ > 0) (∀x ∈ I ∩ Bδ (a)) d(f (x), f (a))

> Calcul intégral Séquence 3 – MA09 113 Cned – Académie en ligne Chapitre 1 > Généralités ......................................................................................................................................................... 117 Chapitre 2 > Intégration par parties .............................................................................................................. 125 Chapitre 3 > Intégrales et inégalités .........................

PRIMITIVES. 1. Définition de primitives et conséquences. Définition : Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On appelle primitive de f toute fonction F définie sur I telle que F ’ = f sur I. Exemple : Soit f la fonction définie sur par f(x) = 3x2 + cos x. Mentalement on reconnaît la dérivée de la fonction x ! x 3 + sin x . En posant F(x) = x 3 + sin x , on a bien : ! x " !, F '(x) = 3x 2 + cos x = f (x) . Donc F est bien une primitive de f sur ! . Remarque : si l’on choisit F(x)

ROC: Restitution Organisée des Connaissances ∗ Terminale S Septembre 2005 Table des matières 1 Analyse 1.1 Limites et ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Bijection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Fonction composée . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Fonction exponentielle, existence et unicité . . . . 1.5 Équation différentielle . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Propriétés des fonctions logarithme et exponentielle 1.6.1 La fonction exponentielle . . . . . . .

Exercice 1 : Commun à tous les candidats Les deux parties de cet exercice sont indépendantes. Partie A : On considère l’équation différentielle (E) :. Montrer que la fonction définie sur l’ensemble des nombres réels par est une solution de l’équation différentielle (E). On considère l’équation différentielle (E’) : . Résoudre l’équation différentielle (E’). Soit une fonction définie et dérivable sur. Montrer que la fonction`est une solution de l’équation différentielle (E) si et seulement

Fonction Exponentielle A. Définition et propriétés algébriques On considère l'équation différentielle y' = y avec y(0)=1 et on admet qu'elle a au moins une solution f, c'est à dire qu'il existe au moins une fonction f dérivable sur
, telle que : f ' = f et f (0) = 1. 1- Propriétés préliminaires a) Une fonction f dérivable sur
, telle que f ' = f et f (0) = 1 ne s'annule pas. Démonstration Soit h la fonction définie par h(x) = f (x).f (-x). Cette fonction est dérivable sur
, sa dérivée

DÉRIVATION RAPPELS ET COMPLÉMENTS 1 I . Nombre dérivé, Fonction dérivée Dans tout ce paragraphe, f est une fonction dénie sur un intervalle I de R, C f est sa courbe représentative dans un repère ¡ O; ¡!i , ¡!j ¢ et a est un élément de l'intervalle I. I - 1 . Définitions et théorème Dénition : f est dérivable en a si et seulement si l'une ou l'autre des deux propositions équivalentes est réalisée : – la fonction h 7¡! f (a + h) ¡ f (a) h a une limite nie ` en 0, ou encore que la

DM ÉTUDE DE LA FONCTION TANGENTE Le but de ce devoir est d'étudier la fonction tangente et d'en établir quelques propriétés. TS 1. Résoudre, sur ]-p ; p], l'équation : cos x = 0 En déduire toutes les solutions, sur , de cette équation. 2. On considère la fonction tangente, notée tan, et définie par : sin x p pour x Î D où D =  \ { + kp, k Î } cos x 2 r r On note C sa courbe représentative dans un repère orthogonal (O, i , j ) tan x = a. Étudier la parité de cette fonction. b. Démontrer

an 09. p 48. Partie A – Restitution organisée de connaissances. ex Prérequis : on rappelle que x→+∞ lim = +∞. x ln x ln x 1. Démontrer que x→+∞ lim =0 2. En déduire que pour tout entier naturel n non nul : x→+∞ n = 0. lim x x Partie B – Etude d’une fonction f. ln x Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par : f(x) = x – . x² → → On note Cf sa courbe représentative dans un repère orthonormal (O ; i , j ) (unité graphique 2 cm). 1. Soit u la fonction définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[