Dérivabilité

v, t) ∈ U 2 ×]0, 1[u = v ⇒ f (tu + (1 − t)v) < tf (u) + (1 − t)f (v) Dans la suite de cette section, on suppose que U est un convexe d’un espace vectoriel , et que f est une application de Ω dans R, avec Ω ouvert contenant U . Les liens entre dérivabilité et convexité sont les suivants : Théorème 46 f C 1 est convexe (resp. strictement convexe) sur U si et seulement si ∀(u, v) ∈ U 2 f (v) ≥ f (u) + f (u)(v − u) (resp.)∀(u, v) ∈ U 2 u = v ⇒ f (v) > f (u) + f (u)(v − u) f C 2 est convexe si et seulement

∈ J on a : 1 ϕ−1 (ϕ(t)) = ϕ (t) (dérivée des fonctions réciproques) 1.0.5 Remarques. 1. Dans le second point de 1.0.4 la condition ϕ (t) = 0 est nécessaire et la formule de pour la dérivée de ϕ−1 découle de la dérivabilité de ϕ−1 : On a IdJ = ϕ−1 ◦ ϕ donc, en admettant la dérivabilité de ϕ−1 , on a par point de 1.0.4 : pour tout t ∈ J 1 = IdJ (t) = ϕ−1 (ϕ(t)) · ϕ (t) donc ϕ (t) = 0 et ϕ−1 (ϕ(t)) = 1 ϕ (t) 2. Une preuve géométrique second point de 1.0.4 : Rappelons que : (a) i. Si f est une

Résumé Limites Continuité Dérivabilité TTP Les Résumés de Tonton Paul I. Limites, continuité, dérivabilité A) Continuité et limites 1°/ Définitions Définition 1 : Soient f une fonction définie sur I à valeurs dans ℜ et a un point de l’intervalle I ; On dira que f est continue en a si et seulement si : pour tout ε > 0 il existe un η > 0 tel que x - a ≤ η implique f ( x ) − f (a ) ≤ ε Toutes les fonctions usuelles, sauf la fonction partie entière sont continues là où elles sont définies. lq Définition

la série converge si 3|x|2 < 1 ⇐⇒ |x| < d’où le rayon de convergence est : R = . 3 √ √ 3 3 3 La série est absolument convergente pour tout |x| < et divergente si |x| > . 3 3 2.3 Propriétés Ce paragraphe étudie les propriétés de continuité, de dérivabilité et d’intégrabilité de la fonction somme des séries entières. 25 M r A  N -E  SÉRIES ENTIÈRES 2.3.1 Continuité d’une série entière Proposition 2.3.1 an xn une série entière de rayon de convergence R et soit Soit f :] − R, R[−→

donne f ( 0,002 ) ≈ 1,002089 l’approximation trouvée par le calcul est très bonne, facile à trouver sans faire beaucoup de calculs. 109 CHAPITRE 4 DÉRIVATION ET PRIMITIVATION 2 Différentielle d’une fonction en un point 1. Lien entre dérivabilité et accroissements de x et de y Soit une fonction f définie sur un intervalle I contenant un réel a. Si f est dérivable en a, alors f ( a + h ) = f ( a ) + f ′ ( a ) × h + hϕ ( h ) avec lim ϕ = 0. 0 On pose h = x – a = ∆x et ∆y = f ( x ) – f

d’où le rayon de convergence est : R = . La série converge si 3|x| < 1 ⇐⇒ |x| < 3 3 √ √ 3 3 La série est absolument convergente pour tout |x| < et divergente si |x| > . 3 3 2 2.3 Propriétés Ce paragraphe étudie les propriétés de continuité, de dérivabilité et d’intégrabilité de la fonction somme des séries entières. 27 M r A  N -E . 2.3.1 Continuité d’une série entière Proposition 2.3.1 an xn une série entière de rayon de convergence R et soit Soit f :] − R, R[−→ R la fonction

α − A -/ 1) Représenter les courbes (C ) et (C ) sur une même figure (unité = 5 cm). On précisera la position de (C ) par rapport à (C ) . 2) Soit α un réel strictement positif et différent de 1. a) b) Etudier la continuité et la dérivabilité de Etudier les variations de α . α en 0. 3) Soit α un réel strictement positif. * d) Préciser les positions relatives sur R + de (C ) et (C α ) . e) Soit 2 réels α et β tels que < α < β i. Préciser les positions relatives sur R *+ de

l'unicité d'une telle primitive. compliquée que Cette démo est beaucoup plus compliquée que celle qui pourrait être demandée au bac. ROC 37 : Théorème fondamental de l'intégration ♥♥ Prérequis : (i) définition d'une primitive (ii) définition de la dérivabilité d'une fonction (iii) théorème des gendarmes (iv) inégalité de la moyenne (v) Unicité de la primitive avec condition initiale Théorème : Soit f une fonction continue sur un intervalle I et soit a un élément de I . Alors la fonction F : x ֏ ∫

série converge si 3|x|2 < 1 ⇐⇒ |x| < d’où le rayon de convergence est : R = . 3 √ √ 3 3 3 La série est absolument convergente pour tout |x| < et divergente si |x| > . 3 3 2.3 Propriétés Ce paragraphe étudie les propriétés de continuité, de dérivabilité et d’intégrabilité de la fonction somme des séries entières. 25 M r A  N -E  SÉRIES ENTIÈRES 2.3.1 Continuité d’une série entière Proposition 2.3.1 Soit an xn une série entière de rayon de convergence R et soit ∞ n=0

× e − x + ( x + 1) × (− e − x ) = − xe − x = f ( x ) . F est dérivable sur ] 0 ; + ∞[ comme produit de fonctions dérivables sur ] 0 ; + ∞[. ∀ x ∈ ] 0 ; + ∞[ : 4 2 1 F'( x ) = x x + x 2 × 5 5 2 x 4 1 = x x + x x = x x = f ( x ). 5 5 On étudie la dérivabilité en 0. 2 2 h h F(0 + h) − F(0) 2 ∀h > 0 , = 5 = h h h h 5 F( 0 + h ) − F( 0 ) = 0. donc lim h→ 0 + h Ainsi F est dérivable en 0 et F'(0) = 0 = f (0) . Finalement, F est dérivable sur I et F' = f donc F est une primitive de f sur I. 14 a) F( x