Formule du binôme de Newton

L'ingénieur écossais Thomas Telford (1757-1834) a construit des routes, des canaux et le pont suspendu de Menai. Mais celui que tout le monde connaît c’est Isaac Newton. Il a décrit la gravitation universelle et les trois lois du mouvement qui a dominé la conception scientifique de l'univers physique pour les trois prochains siècles. Newton a montré que les mouvements des objets sur la Terre et du corps célestes sont régies par le même ensemble de lois naturelles, en démontrant la cohérence entre les

= aI + B . Calculer B 2 et B 3 . 2. Montrer que pour tout n ∈ N, n ≥ 2, on a An = an I + nan−1 B + 3. Retrouver la valeur de An à l'aide de la formule du binôme de Newton.  6 4 0 Exercice 10 : Soit A =  −4 −2 0 . Soit B = A − 2I . 0 0 2 2 n 1. Calculer B . En déduire B pour tout n ∈ N, n ≥ 2.   2. En utilisant la formule du binôme de Newton, déterminer An en fonction de n ∈ N. 0 6 0  0 0 . 8       1 1 0 −2 4 5 1 2 1 1 1 2 Exercice 11 : Soient A =  −1 7 2 , P =  1 −1

trigonométriques à l’aide du cercle trigonométrique. - propriétés des nombres complexes vues en terminale (module argument) Préambule Ce chapitre a pour objectifs : - de déterminer de nouvelles formules de trigonométrie à l’aide des nombres complexes - de transformer des expressions trigonométriques à l’aide de ces formules (linéarisation, développement de cos(px) ou sin(px) en fonction de cos x et sinx) - de résoudre des équations polynômiales à coefficients complexes - de déterminer les racines n-ième d’un

Exemple π I = 02 sin4 xdx. 2 méthodes : (1) la première, en utilisant les formules de trigonométrie de 1ère : dicile et long (on linéarise deux fois). D'abord, on utilise la formule sin2 a = 1−cos(2a) , ce qui donne 2 b b I = 0 π 2 1 − cos(2x) 2 π 2 2 dx = 1 4 [1 − 2 cos(2x) + cos2 (2x)]dx 0 1+cos(2a) , 2 Mais on doit ensuite linéariser le cosinus au carré, en utilisant la formule cos2 a = ce qui donne I = = 1 4 0 π 2 1 − 2 cos(2x) + 0

l’hypothèse ; Calculer, utiliser une formule ; Exprimer une réponse avec une phrase correcte ; Exprimer à l’écrit les étapes d’une démarche de résolution. Attitudes Respecter les consignes Communiquer et travailler en équipe, ce qui suppose savoir écouter, faire valoir son point de vue, argumenter dans le respect des autres ; Etre capable de raisonner avec logique et rigueur ; Savoir s'autoévaluer. Conditions de mise en œuvre Travail en binôme Choix par le binôme d’une fiche parmi 3 en fonction

| | |Confronter le résultat au résultat attendu, valider ou invalider l’hypothèse ; | | |Calculer, utiliser une formule ; | | |Exprimer une réponse avec une phrase correcte ; | |

l’illumination divine, utilisé exclusivement au singulier - acquises par l’expérience et l’enseignement du passé. Elle suggère aussi une vision manichéenne du monde, où l’« homme éclairé » s’oppose à la masse de ceux restés dans les ténèbres. La formule a donc bien tant une dimension sociale qu’une dimension spatiale. Sous la plume des philosophes, les Lumières désignent par métonymie les élites européennes ouvertes aux nouveautés. On trouve dès les années 1970 la mention de « siècle éclairé » dans

FORMULE D'INVERSION DE PASCAL         ¡ Soient (ai) 0 i n et (bi) 0 i n des familles d'éléments d'un anneau commutatif A tels que : p k =0 ¢ ¡ ap = Alors : p k C p bk ∀p ∈ 0, n k =0 Preuve par récurrence : On considère la propriété ℘(p) suivante définie pour p ∈ 0, n : j ¢ ¡ k =0 p • D'après la relation ap = k =0 k C p bk particularisée avec p = 0, on obtient : a0 = b0. D'où ℘(0). • Montrons que : ∀p ∈ 0, n − 1 , ℘(p) Soit p ∈ 0, n − 1 . Supposons donc

Isaac Newton (4 janvier 1643 G – 31 mars 1727 G, ou 25 décembre 1642 J – 20 mars 1727 J)[N 1] est un philosophe, mathématicien, physicien, alchimiste, astronome et théologien anglais. Figure emblématique des sciences, il est surtout reconnu pour avoir fondé la mécanique classique, pour sa théorie de la gravitation universelle et la création, en concurrence avec Leibniz, du calcul infinitésimal. En optique, il a développé une théorie de la couleur basée sur l'observation selon laquelle un prisme

premier set (0,2). L'évènement "Nadal gagne le premier set et remporte le match" est l'évènement . Sa probabilité est égale à . Pour calculer la probabilité que Nadal remporte le match, additionne les deux précédents résultats. C'est la formule des probabilités totales. Raphaël Nadal a un peu moins de 3 chances sur 10 de remporter le match. Dénombrement Une urne contient 5 boules numérotées de 1 à 5, les 3 premières sont vertes, les 2 dernières sont rouges. 1. On