Formule du binôme de Newton

Les symboles Σ et Π. Le binôme de Newton Nous consacrons ici un long chapitre au symbole Σ (et au symbole Π). A terme, la maîtrise de ce symbole est une compétence essentielle à acquérir et nous pensons qu’il faut y consacrer un nombre conséquent de pages. Plan du chapitre 1 Le symbole Σ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 1 1.1 1.2 1.3 1.4

polynômiale uniforme-Polynômes de Bernstein [pic] On considère les suites suivantes : [pic] Question 1 : Montrons que [pic] [pic] On reconnaît la formule du binôme de Newton, [pic] Dans notre cas, [pic] d’où : [pic] On veut montrer que, [pic] [pic] [pic] On pose[pic]. [pic] On vérifie sur Scilab pour le cas particulier où : x=0,1 et n=3 x=0.1; n=3; z=(factorial(n)/(factorial(0)*factorial(n-0)))*(x^0)*(1-x)^(n-0);

Isaac Newton (4 janvier 1643 G – 31 mars 1727 G, ou 25 décembre 1642 J – 20 mars 1727 J)N 1 est un philosophe, mathématicien, physicien, alchimiste, astronome et théologien anglais. Figure emblématique des sciences, il est surtout reconnu pour avoir fondé la mécanique classique, pour sa théorie de la gravitation universelle et la création, en concurrence avec Leibniz, du calcul infinitésimal. En optique, il a développé une théorie de la couleur basée sur l'observation selon laquelle un prisme décompose

est solution d’après 12.-. Ainsi : f solution ⇔ (∀x ∈ R, f(x) = −1) ou (∀x ∈ R, f(x) = 1) ou (∃a ∈ R/ ∀x ∈ R, f(x) = tanh(ax)). http ://www.maths-france.fr 5 c Jean-Louis Rouget, 2006. Tous droits réservés. ALGEBRE Partie I : 1.- La formule du binôme de Newton fournit : 2n A= k=0 2n 2n k X −1= k 2n k X =X k k=1 2n k=1 2n k−1 X =X k 2n−1 k=0 2n Xk . k+1 Ainsi, 2n−1 2n Xk . k+1 A = XB où B = k=0 2n 2n B est un polynôme de degré 2n − 1, de coeffcient dominant = 1, et de coefficient

considérablement le champ d'application de la "loi des grands nombres", en considérant une suite d'expériences différentes avec des probabilités de "réussite" variables. Mais le propos de Poisson est ici de faire comprendre l'énoncé de Bernoulli, de le formuler de façon plus algébrique, et de donner les grandes lignes de la démonstration de Bernoulli. Il donne ensuite sa propre démonstration. "Les choses de toutes natures sont soumises à une loi universelle qu'on peut appeler la loi des grands nombres

1 5 10 10 5 1 3.4. Formule du binôme de Newton . On retrouve les coefficients 1 2 1 On retrouve les coefficients 1 3 3 1 Pour développer une expression, il faut utiliser la commande Maxima « expand » b^2-2*a*b+a² -b^3+3*a*b^2-3*a^2*b+a³ b^4+4*a*b^3+6*a^2*b^2+4*a^3*b+a⁴ b^4-4*a*b^3+6*a^2*b^2-4*a^3*b+a^4 b^5+5*a*b^4+10*a^2*b^3+10*a^3*b^2+5*a^4*b+a^5 -b^5+5*a*b^4-10*a^2*b^3+10*a^3*b^2-5*a^4*b+a^5 -4*%i-4 3.5. Formules de Moivre Exercice type : exprimereten

soit k= 0 6 5 2 n1 2 Choisissons l’élément x ( n choix possibles ), il y a alors Donc card Q=∑ anagrammes de PERE.  et il y a  parties parties A de k éléments, n 2n −k =1 2 n=3 n d'après la formule du binôme de Newton k parties de cardinal k donc le cardinal cherché est 1x n= ∑ n x k k =0 k 2 n− k et en dérivant des 2 côtés : donnant la valeur 1 à x , on obtient : n n n ∑k k =0  n 1x n−1 =∑ k n x k k k =0

n'y a pas de coecients binômiaux dans la formule ci-dessus ! Exercice 10. Calculer en fonction de Exercice 5. et Démontrer que pour tous réels on a Indication : où voir page 11 Réponse : voir page 12 (on factorisera par et pour pour se ramener à la . deux nombres réels (ou complexes) et un entier Exercice 11. Exercice 6. Factoriser Calculer formule encadrée). Calculer de même Réponse : voir page 12 Formule du binôme de Newton : Réponse : voir page 12 Compléter

. . . . . . . . . . . . . . 2.3 Théorème fondamental de l’algèbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Argument et trigonométrie 3.1 Argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Formule de Moivre, notation exponentielle 3.3 Racines n-ième . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Applications à la trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

déterminer le nombre de possibilités de groupes d’élèves pris en photo. 1. Montrer que le nombre de possibilités de groupes d’élèves pris en photos est 28 0 + 33 1 +... + 33 33 3. En déduire la réponse à ce problème. 2. A l’aide de la formule du binôme de Newton développez (1 + 1)33 . Exercice 3 : On considère 7 boules numérotées de 1 à 7. 1. On en tire simutanément 3. Combien y a-t-il de tirages possibles ? 2. a. Combien y a-t-il de tirages possibles dont le plus grand numéro est 5 ? b. Soit