Loi de composition

, quand a = −1, on retrouve les ............, et pour a = 1, l’............ III) COMPOSITION DES APPLICATIONS LINÉAIRES 2 COURS MPSI 10. ALGÈBRE LINÉAIRE : APPLICATIONS LINÉAIRES R. FERREOL 09/10 PROP : la composée de deux applications linéaires est linéaire ; plus précisément : si f ∈ L (E, F ) et g ∈ L (F, G) alors g ◦ f ∈ L (E, G) D10 La composition des application définit donc une loi de composition interne dans L (E) ; on a alors la structure remarquable : PROP : (L (E) , +, ◦) est

que cette loi est correctement définie, c’est-à-dire que si x et y appartiennent à S, alors 1 + xy n’est pas nul. Dans le cas contraire, nous aurions xy = −1, d’où |x|.|y| = 1 donc un au moins des nombres |x| et |y| serait ≥ 1, ce qui est impossible, puisque x et y appartiennent tous deux à S et que S est l’ensemble des nombres réels dont la valeur absolue est < 1. La contradiction obtenue prouve que la loi ∗ est correctement définie. 2. Prouvons maintenant que cette loi est bien une loi de composition

| | |CINEMATIQUE : | | |COMPOSITION DE MOUVEMENTS | | | | |

Logique. . . . . . . . . . . . . 1.2 Ensembles . . . . . . . . . . . 1.3 Applications . . . . . . . . . . 1.4 Familles . . . . . . . . . . . . 1.5 Relations . . . . . . . . . . . 1.5.1 Relation d’´quivalence e 1.5.2 Relation d’ordre . . . 1.6 Loi de composition interne . . 2 Les 2.1 2.2 2.3 2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . 1.2 Ensembles . . . . . . . . . . . 1.3 Applications . . . . . . . . . . 1.4 Familles . . . . . . . . . . . . 1.5 Relations . . . . . . . . . . . 1.5.1 Relation d’´quivalence e 1.5.2 Relation d’ordre . . . 1.6 Loi de composition interne . . 2 Les 2.1 2.2 2.3 2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . 1.2 Ensembles . . . . . . . . . . . 1.3 Applications . . . . . . . . . . 1.4 Familles . . . . . . . . . . . . 1.5 Relations . . . . . . . . . . . 1.5.1 Relation d’´quivalence e 1.5.2 Relation d’ordre . . . 1.6 Loi de composition interne . . 2 Les 2.1 2.2 2.3 2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

sur un ensemble E et : E × E → E une loi de composition interne. e On dit que passe au quotient par R s’il existe une application ¯ : E/R × E/R → E/R telle que l’on ait x¯y = x y. ¯ ¯ On appelle alors ¯ la loi quotient. Sans myst`re, on a le e Th´or`me (slogan) 1.7. Soit R une relation d’´quivalence sur un ensemble E et e e e interne. Pour que passe au quotient par R, il faut et il suffit que l’on ait [xRx ] ∧ [yRy ] ⇒ (x y)R(x y) . : E × E → E une loi de composition . 3 ´ 2. Une application :

: , . Le fait ! On dit que la loi de composition « » n’est pas commutative. (les applications ne sont pas : par exemple avec (essayez !). égales car elles diffèrent sur au moins un élément). Attention, il peut tout de même arriver, dans certains cas, que et 6. Si , et . Ou encore : avec et et alors les applications existent, et sont égales ! . On dit Autrement dit, lorsque cela a un sens, on a toujours l’égalité : a: , . que la loi de composition « » est associative. En effet, on

´ Cours de Mathematiques ´ Groupes, anneaux, corps, arithmetique Sommaire Groupes, anneaux, corps, arithm´tique e Sommaire I Lois de composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.1 G´n´ralit´s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e e I.2 Partie stable pour une loi . . . . . . . . . . . . . . I.3 Homomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.4 Commutativit´ et associativit´ . . . . . . . . . . . e e I.5 Distributivit´ . . . . . . . . . . . . . . .

dans C Proposition 2.1.1 (propriétés de l’addition dans C) L’ensemble C est muni d’une opération (ou loi de composition), notée +, avec les propriétés suivantes : (1a) La loi + est commutative : ∀ (x, y) ∈ C2 , x + y = y + x (1b) La loi + est associative : ∀ (x, y, z) ∈ C3 , x + (y + z) = (x + y) + z (1c) Pour la loi +, l’entier naturel 0 est élément neutre : ∀ x ∈ C, x + 0 = x (1d) Pour la loi +, tout x de C possède un opposé (noté −x), donc tel que x + (−x) = 0 ; La notation x − y doit être comprise