Absolue continuité

de (vn )n∈IN et de (wn )n∈IN . 3. On consid`re la fonction f : IR → IR, telle que e f (x) = ln   1 − x . 1+x  (b) Etudier la parit´ de f . e (a) D´terminer l’ensemble de d´finition Df de f . e e (c) D´terminer l’ensemble de continuit´ de f et son ensemble de d´rivabilit´. e e e e (d) Etablir le tableau des variations de f en pr´cisant les limites aux bords. e (e) Tracer la courbe repr´sentative de f . e (f) Montrer que f est bijective sur des ensembles ` pr´ciser. En d´duire

GELE2511 Chapitre 1 : Signaux et syst`mes e Gabriel Cormier, Ph.D. Universit´ de Moncton e Hiver 2008 Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 1 Hiver 2008 1 / 74 Introduction Contenu Contenu R´vision des concepts de base : p´riode, d´phasage e e e Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 1 Hiver 2008 2 / 74 Introduction Contenu Contenu R´vision des concepts de base : p´riode, d´phasage e e e Signaux communs Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre

Planche no 19. Applications linéaires continues, normes matricielles * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile I : Incontournable ***** très difficile no 1 (*) : On munit E = R[X] de la norme 1) Vérifier brièvement que ∞ est une norme sur E. 2) Soit f l’endomorphisme de E défini par ∀P ∈ E, f(P) = XP. Démontrer que l’application f est continue sur (E, déterminer |||f|||. no 2 (**) : On munit E = ℓ∞ (C) le C-espace vectoriel des suites bornées de la norme u ∞ ∞ ∞ définie par

Exo7 Limites de fonctions 1 Théorie Exercice 1 1. Montrer que toute fonction périodique et non constante n’admet pas de limite en +∞. 2. Montrer que toute fonction croissante et majorée admet une limite finie en +∞. Indication Exercice 2 √ √ 1+x− 1−x = 1. 1. Démontrer que lim x x→0 Correction Vidéo [000612] √ √ 1 + xm − 1 − xm . xn x→0 1 1 3. Démontrer que lim ( 1 + x + x2 − 1) = . 2 x→0 x Indication Correction Vidéo 2. Soient m, n des entiers positifs. Étudier lim [000609]

Fonctions convexes : corrigé Inégalités de convexité Exercice 1 - Exponentielle - L1/Math Sup Il suffit juste de remarquer que la fonction exponentielle est convexe, et d’appliquer la définition de la convexité ! Exercice 2 - Sinus - L1/Math Sup Puis (sin) = − sin, la fonction sinus est concave sur [0, π/2]. Sa courbe représentative est donc, sur cet intervalle, en-dessous de sa tangente en 0, et au-dessus de la corde joignant (0, sin 0) à (π/2, sin(π/2)). On obtient exactement le résultat demandé

Révisions Bac S - Fiche n°1 1.1. Résoudre dans c l'équation 4z² + 3 = 0 . Donner les solutions sous forme algébrique et exponentielle. 1.2. Soit la suite (un) définie par un u0 = 1 et un+1 = , pour tout n de n. 1 + un a. Déterminer ses cinq premiers termes, puis faire une conjecture sur l'expression du terme général de la suite (un) . 1 b. On suppose un ≠ 0 pour tout n de n et on pose vn = . un Montrer que la suite (vn) est une suite arithmétique dont on précisera le premier terme et la raison.

croissante, n Є A (Vn) décroissante, n Є A Pour tout n de A, Un ≤ Vn * Deux suites adjacentes sont convergentes vers une même limite. Suites arithmétiques Terme général Somme de termes consécutifs Sommes particulières Limites de fonctions et suites Continuité d'une fonction: Suites géométriques Ω (a;b) Dérivées et primitives * Le nombre dérivé en a de f est la limite finie, si elle existe, du taux d'accroissement de f en a. * Le nombre dérivé est le coefficient directeur de la tangente TA en A

Corrigé du baccalauréat S Asie 21 juin 2010 E XERCICE 1 Commun à tous les candidats 1. Question 1 : Le triangle GBI est : 4 points Réponse a : isocèle. Réponse b : équilatéral. Réponse c : rectangle. On a GB2 = 1 + 2 = 3 ⇒ GB = 3 ; de même BI = 3 et GI = 2. Le triangle GBI est isocèle. 2. Question 2 : Le barycentre du système de points pondérés {(O, 2), (A, -1), (C, 1)} est : Réponse b : le point I. Réponse c : le point J. −→ −→ −→ → − − − − −→ − − − → Par définition le barycentre G vérifie

Examen du baccalauréat (Juin 2009) Epreuve : MATHEMATIQUE Section : Economie et Gestion Session de contrôle Exercice 1 1) a) Remarques  Pour 1) les solutions sont conjuguées donc les coefficients de l’équation sont réels. 2)a ) 3) b) 4) b). Leur produit est égal à 2    Pour 2), n'hésitez pas à représenter les points dans un repère orthonormé. Pour 3), f(0) = 0 donc la tangente passe par le point O. Il n’y a que b). Pour 4) , Faites très attention. Il s’agit de la courbe de la dérivée

|Jh(x′ )| est la valeur absolue du d´terminant de la matrice jacobienne de u e ′ ′ ′ n h au point x = (x1 , . . . , xn ) ∈ U ⊂ R . Si on interpr`te les “´l´ments de volume”de la physique en termes de e ee mesure, on en d´duit que la mesure de Lebesgue dx dans V est la mesure e 16 Chapitre 1. image de la mesure dx′ de U par h, c’est-`-dire la mesure de densit´ |Jh(x′ )| a e par rapport ` la mesure de Lebesgue dans U . a L’interpr´tation physique de la valeur absolue du jacobien est classique