Absolue continuité

´ CONSERVATOIRE NATIONAL SUPERIEUR DE MUSIQUE ET DE DANSE DE PARIS Formation Sup´rieure aux M´tiers du Son e e Concours d’Entr´e 2006 : e Dur´e : 3 heures e ´ Epreuve de Math´matiques e Dans toute l’´preuve, j = e √ −1 et (O, i, j) d´signe le rep`re orthonorm´ de centre O(0, 0). e e e Exercice 1 Soient les fractions rationnelles H1 (s) = o` s ∈ R. u 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 −26 − 6s + 2s2 −32 − 11s + 4s2 + s3 et H2 (s) = , s3 + 2s2 − 5s − 6 s3 + 2s2 − 5s − 6 Quel est l’ensemble de d´finition

TD « Pièges à éviter » CONTINUITE : -4 -3 -2 -1 y 3 2 1 0 1 2 3 x -1 1) Si une fonction n’est pas définie en a, Alors elle n’est pas continue en a. a) Vrai b) Faux -2 2) La fonction partie entière est discontinue en tout point n∈ . -3 a) Vrai b) Faux -4 3) Le graphe ci-contre est la représentation graphique de la fonction partie entière a) Vrai b) Faux 4) Si une fonction f est décroissante de ]–∞ ; –1] dans [–3 ; 2[ et croissante de [–1 ; +∞[ dans [–3 ; +∞[. Alors l’équation

E3A maths A PSI 2004 (3 heures) Préliminaires Il suffit d’appliquer la formule de Taylor avec reste intégral à f sur [0, x]: n−1 f (x) = k=0 f (k) (0) xk + k! x 0 (x − t)n−1 (n) f (t) dt (n − 1)! ou alors on affectue des IPPs successives. I.1.1 Si f est solution alors f ′ (x)−f (x) = g ′ (x) et f (0) = g (0) (faire x = 0). Réciproquement, x si f ′ (x) − f (x) = g′ (x) alors intégrant sur [0, x] il vient f (x) − f (0) − 0 f = g (x) − g (0) et si f (0) = g (0) on a bien f solution

Terminale S1 – DS1 – Jeudi20/9/12 Exercice 1  (4 points) 1. Soit le trinôme f(x) = ax² + bx + c (a 0) et Δ son discriminant. Montrer que si aΔ > 0, alors il existe un intervalle sur lequel f(x) < 0. |2. La courbe représentative d’une fonction trinôme f a été effacée. |[pic] | |Il ne reste que l’axe de symétrie D et le point A avec sa tangente. | | |Retrouver

Lycée Marlioz - Aix les Bains Bac Blanc 2011 Mathématiques - Terminale S Candidats n’ayant pas choisi la spécialité maths 18 avril 2011 Pour cette épreuve, la rédaction, la clarté et la précision des explications entrent pour une large part dans l’appréciation des copies, sauf mention explicite du contraire dans l’énoncé. Le barème est donné à titre indicatif. Les calculatrices sont autorisées. Aucune sortie définitive n’est autorisée avant 11h55. 1 TS Bac Blanc Page 2

Lycée Camille SEE 2002 / 2003 DERIVATION T.ES I - NOMBRE DERIVE f est une fonction définie sur un intervalle I. a et x = a + h sont deux valeurs distinctes de I. A ( a, f (a)) et M ( x, f (x)) sont deux points de la courbe représentative de la fonction. f ( x) − f (a) Le coefficient directeur de la sécante (AM) à la courbe est m = , c’est le x−a taux de variation de la fonction entre a et x. M A M O A A a h x O a h x=a+h O h Lorsque M devient de plus en

Introduction La théorie des fonctions analytiques a vu le jour avec Augustin-Louis CAUCHY (1789-1857), Bernhard RIEMANN (1826-1866) et Karl WEIERSTRASS (1815-1897). Avec des points de vue différents, ils nous offrent trois approches dont nous pouvons combiner les actions. Cauchy, le précurseur, définit une fonction analytique comme une fonction de variables complexes qui admet en chaque point une dérivée continue. Il a en outre établi qu’une telle fonction peut être représentée par une formule

Activité : Introduction à la fonction logarithme népérien. 1°) Définition – courbe représentative. Définition (bijection) : On dit qu’une fonction f définie sur un intervalle I réalise une bijection de I sur J = f(I), si tout réel y de J possède un unique antécédent x appartenant à I. C’est le cas en particulier de toute fonction f dérivable et strictement monotone sur un intervalle I, qui réalise une bijection de I sur f(I). Définition : Soit f une fonction réalisant une bijection d’un

On définit de la même façon … x → +∞ lim f ( x ) = – ∞ x → –∞ lim f ( x ) = – ∞  → x → –∞ lim f ( x ) = + ∞ j  → j O  → i O Cf Les nombres f ( x ) deviennent négatifs et de plus en plus grand en valeur absolue  → i Cf  → j Cf Rem : Dans ces deux cas, f est définie sur un intervalle de la forme ] -∞ ; b ] O  → i Dans la pratique, on peut utiliser la remarque suivante : Tout devient si simple quand f est paire ou impaire

Déterminer a, b ∈ R de manière à ce que la fonction f définie sur R+ par : √ f (x) = x si 0 x 1 et f (x) = ax2 + bx + 1 soit dérivable sur R∗ . + Indication Exercice 2 1 Soit f : R∗ −→ R définie par f (x) = x2 sin . Montrer que f est prolongeable par continuité en 0 ; on note encore f la fonction x prolongée. Montrer que f est dérivable sur R mais que f n’est pas continue en 0. Indication Correction Vidéo [000700] Exercice 3 Étudier la dérivabilité des fonctions suivantes : 1 f1 (x) = x2 cos , si x = 0