AK-47

. . . . . . . . . . . . . . . . 43 4.2 Le logarithme naturel r´eel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.3 Les fonctions trigonom´etriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.4 Les fonctions hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 5 Calcul diff´ erentiel 5.1 Diff´erentiation 51 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

suivantes : Cnk = Cnn−k , k k−1 . + Cn−1 Cnk = Cn−1 et k−2 k−1 k Cnk = Cn−2 + 2 Cn−2 + Cn−2 . c ⃝Boukhari.F 15 1.3. Exercices Exercice 1.5. Soient a, b ∈ R, n ∈ N. 1. Montrer par récurrence la formule du binôme de Newton : (a + b)n = n ∑ Cnk ak bn−k . k=0 2. En déduire la valeur de n ∑ (−1)k Cnk et k=0 n ∑ Cnk k=0 3. Montrer que si card(Ω) = n alors card(P(Ω)) = 2n . 4. Montrer par deux méthodes différentes que pour tout n ≥ 1 : n ∑ k Cnk = n2n−1 . k=1 (On pourra utiliser la fonction

vérifiant : n+1 Exercice 10 [ 02468 ] [correction] Soient p et q deux projecteurs d’un K-espace vectoriel E vérifiant p ◦ q = 0. a) Montrer que r = p + q − q ◦ p est un projecteur. b) Déterminer image et noyau de celui-ci. ∀P ∈ Rn [X] , k=0 ak P (X + k) = 0. Exercice 5 Mines-Ponts MP√ [ 02662 ] [correction] √ √ Soit K = Q + 2Q√ √ √ 6Q. + 3Q + a) Montrer que (1, 2, 3, 6) est une Q-base du Q-espace vectoriel K. b) Montrer que K est un sous-corps de R. Exercice 6 [ 03133 ] [correction] Soient

. . . , an tels que : f (x) = x→x0 a0 + a1 (x − x 0 ) + a 2 (x − x 0 )2 + · · · + a n (x − x 0 )n + o (x − x 0 )n n = x→x0 k=0 ak (x − x 0 )k + o (x − x 0 )n On peut définir de la même manière un DL n (x 0+ ) de f ou un DL n (x 0− ) de f . On utilisera principalement des DL n (0) : f (x) = a0 + a1 x + a2 x 2 + · · · + a n x n + o x n x→0 n = x→0 k=0 ak x k + o x n Définition 43 Développement limité d’ordre n en +∞ Soient n ∈ N, f une fonction définie sur un voisinage de +∞. On dit que

tout nombre entier n, 0  un  7. b) Soit P(n) la propriété de un  un+1. P(0) est vrai car u0  u1. En effet, u1 = u = 3,7. De plus, si pour un nombre entier k, uk  uk+1 alors 7uk  7uk+1 et ces nombres sont positifs car a) donc 7uk  7uk +1 . Ak+1 O 2 Ak Conclusion : pour tout nombre entier n, OAn = 4 n + 1. Donc si P(k) est vraie, alors P(k + 1) est vraie aussi. Conclusion : pour tout nombre entier n, P(n) est vraie soit un  un+1 et la suite u est croissante. 10 a) Pour n  1, un = 3 ¥ 0

*46*+ 4C.+2*+*: 99 ) , 012*+3,*/ 4 *+-./ , 4 *56, 85159 , , *46*+ .+2*+*: 99 , 4*4@ ->?3, 4 B146 , , *46*+ 4C.+2*+*: 99 ) , 012*+3,*/ 4 *+-./ , 4 *56, 85159 , , *46*+ .+2*+*: 99 , 4*4@ ->?3, 4 B146 , , *46*+ 4C.+2*+*: 99 Y "W '& $Z(   Y P AK DR DD DS SK J7 JA JS [&] '& $\ ( "  X P ) , 012*+3,*/ 4 *+-./ , 4 *56, 85159 , , *46*+ .+2*+*: 99 , 4*4@ ->?3, 4 B146 , , *46*+ 4C.+2*+*: 99 L N&N( O  $M  " N  E P X '&F '&N   $U   N   ) , 012*+3,*/ 4 *+-

conditions de convergence uniforme de la série trigonométrique ∞ a0 + (ak cos(kωx) + bk sin(kωx)). Alors (1) et posons f (x) = 2 k=1 a0 f (x) cos(nωx) = cos(nωx) + 2 a0 sin(nωx) + 2 ∞ [ak cos(kωx) cos(nωx) + bk sin(kωx) cos(nωx)] k=1 ∞ f (x) sin(nωx) = [ak cos(kωx) sin(nωx) + bk sin(kωx) sin(nωx)] k=1 ∞ 2π/ω La convergence uniforme nous permet d’avoir : 2π/ω 2π/ω a0 cos(nωx)dx + • f (x) cos(nωx)dx = 2 0 0 ∞ 2π/ω ak k=1 cos(kωx) cos(nωx)dx 0 . + 2π/ω bk a0 2 k=1 0

série de Fourier S1 est une fonction impaire. Dans la suite, attention à ne pas faire de confusion entre l’indice n qui numérote les polynômes de Bernouilli et l’indice k qui repère les coefficients de Fourier. 2 La relation de récurrence entre les ak (n) et les bk (n + 1) sera transformée en relations par pas de deux dans une même série de coefficients. Problème 1.3 2 b) Dans l’expression de S N (t) on fera un changement de variable u = t − t dans l’intégrale entre −p et 0 et u = t − t dans

+ b)n = k=0 k Cn ak bn−k . D´monstration : e Par r´currence sur n. e Pour n = 0 la propri´t´ est imm´diate puisque 1 = 1. ee e Supposons la propri´t´ vraie pour n et regardons si elle est vraie pour n + 1. ee (a + b)n+1 = (a + b)n (a + b) = a(a + b)n + b(a + b)n n n k Cn ak bn−k + b k=0 n k=0 n k Cn ak+1 bn−k + k=0 k=0 k Cn ak bn−k+1 k Cn ak bn−k = = ´ ´ CHAPITRE 1. DEFINITIONS DE BASE - DENOMBREMENTS On consid`re maintenant k = k + 1, on a : e n+1 n k Cn −1 ak bn−k +1 + k =1 n k=0

d’hépatite chronique active et/ou de cirrhose. La cytolyse seule est la plus commune des anomalies biologiques hépatiques et diminue de façon significative avec le régime sans gluten. Dans une étude plus récente(2) comportant 132 patients atteints de MC, 47% avaient des anomalies biologiques hépatiques, et sur 37 patients biopsiés, 5 patients n’avaient aucune anomalie histologique, 25 avaient des anomalies mineures et non spécifiques, et cinq patients avaient une hépatite chronique active. Ces études ont