Angle plan

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; B, N, C ; C, O, D et D, P, A sont alignés. a, b et c désignent les longueurs des côtés des triangles rectangles. Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? Justifie. A M b a c c a B b N P PMN 2. Démontre que l'angle  est un angle droit. Déduis-en la nature du quadrilatère MNOP ? 3. Exprime l'aire de MNOP en fonction de c. b D c a O c b a C 4. On dispose, à présent, les quatre triangles rectangles comme sur la figure ci-contre afin que EFGH soit un carré.

Selon notre hypothèse qui était que lorsqu’on aligne le rayon lumineux sur le trait tracé préalablement : le rayon lumineux frappera l'interface des deux milieux au point d'incidence en un angle d'incidence donné. Le rayon après avoir traversé l'acrylique va être dévié et il devrait y avoir un nouvel angle (cela ne sera pas la même mesure que l'angle d'incidence). Puis, avec les sinus des angles d'incidence donnés et les sinus des angles réfractés trouvés, on va donc obtenir une équation et la

Dans le triangle AIQ, rectangle en I, on a d’après le théorème de Pythagore : AQ² = AI² + QI² = 8² + 4² = 64 + 16 = 80 Donc AQ = 4 5 Comme (AO) est la bissectrice de l’angle BÂC, on en déduit que OÂI = Dans le triangle AIQ, rectangle en I, on a : ( on note  l’angle BÂC ) Sin    . Ainsi : 2 Â QI =   2  QA Â AI =   2  QA soit Sin   = 2 4 5   Â 4 ou Sin   Â 1 =  5 2 Â 2 =  5 2 Cos   soit Cos   = 2 4 5   Â 8 ou

métriques dans un triangle 1 2 Corrigé dans le manuel. 32 2 + 20 2 – 28 2 1 - 1. • cos ABC = ------------------------------------- = -2 × 32 × 20 2 1 2 15 15 b) sin2 BAC = 1 –  – -- = ----- d’où sin BAC = --------- .  4 16 4 (La mesure d’un angle géométrique est un réel de [ 0 ; ] .) 1 3. a) S = -- AB × AC × sin BAC = 3 15 . 2 1 2 × 3 15 3 b) S = -- AH ⋅ BC donc AH = ---------------------- = -2 4 8 8 1. a) La relation d’Al Kashi : donc ABC = 60° . 32 2 + 28 2 – 20 2 11 • cos ACB = -------------------------------------

+ © http://www.bacdefrancais.net Angles orientés - trigonométrie Page 2 sur 20 II. Angles orientés 1. Angle orienté de deux vecteurs unitaires Soient u et v deux vecteurs unitaires. Le couple u , v de ces 2 vecteurs définit un angle orienté. On a u = 1 et v = 1 ( ) B v A v u u A ce couple de vecteurs, nous pouvons associer un arc orienté AB . 2. Angle orienté de deux vecteurs non nuls Soient u1 et v1 deux vecteurs non nuls. On note u le vecteur unitaire colinéaire

triangle PIA valant 180°, la somme des angles IAP et API vaut 45°. Chacun de ces angles est donc égal à 22,5°. Autre méthode Dans le cercle de centre I et de rayon IP, l'angle inscrit IAP intercepte le même arc que l'angle au centre OIP égal à 45°. Un angle inscrit est égal à la moitié de l'angle au centre qui intercepte le même arc. IAP = 22,5°. d. L'angle IAB est égal à 45° (car O, I et A sont alignés). L'angle IAP est égal à 22,5°. (question 1.c) L'angle IAB est la réunion des angles adjacents IAP

| | |Démo : | | |Dans le plan orienté muni d’un repère orthonormé direct, on considère C le cercle | | |trigonométrique de centre O et d’origine I. |

d'or à l'infini ? Démonstration : D'après la construction de ce triangle, nous savons que AB = AC =  et BC = 1 On a donc le rapport BC = .  Soit la bissectrice de C qui coupe le côté opposé [AB] en I. AC Propriété : la bissectrice d'un angle partage le côté opposé qu'elle coupe, dans le même rapport que celui des côtés de l'angle dont elle est issue. IA AC Ainsi, IB = BC = Or, le triangle AIC est isocèle en I, d'où IA = IC. On remplace dans l'égalité précédent ce qui nous donne

L’astronomie était la motivation principale pour le développement de la trigonométrie dans l’antiquité. Parmi les premiers astronomes, on trouve d’abord le grec Hipparque, qui a vécu au 2e siècle av. J.-C. Il est le premier à avoir associé une longueur à un angle : il s’agit de la corde de l’angle dans un cercle de rayon fixé. Quatre siècles plus tard vient l’astronome et mathématicien Ptolémée, l’auteur d’un énorme traité d’astronomie en 13 volumes que les arabes ont respectueusement nommé l’Almageste1. Il