Anneau commutatif

que Définition : Un polynôme de p variables P(x1, . . . , xp) est un polynôme symétrique si pour toute permutation des entiers 1,..., p, on a : . Les polynômes des p variables sont clairement symétriques. Théorème 1 : Soit A un anneau commutatif unitaire, et soit un polynôme symétrique de degré d à coefficients dans A. Alors il existe un polynôme S à n variables et à coefficients dans A tel que : Preuve : Raisonnons par récurrence sur n. Pour n=1, le résultat est évident, puisque

op´erations d’addition, soustraction et multiplication (non tordue) sur R v´erifient, chaque fois que les formules sont d´efinies, les r`egles usuelles du calcul : commutativit´e, associativit´e, distributivit´e. → 2.17 Lemme. Le produit tordu est commutatif et associatif ; il v´erifie la distributivit´e sur R+ : ∀a, b, c ∈ R+ : a (b + c) = (a b) + (a c) . 3. Applications mesurables 3.1 D´ efinition. Soit (Ω, F) et (X, G) deux espaces mesurables. Une application f : Ω → X est dite mesurable (ou

b ∈ G, on a ab = ba} (centre de G), et pour a ∈ G : C(a) = {b ∈ G tq ab = ba} (commutant de a). Montrer que Z(G) et C(a) sont des sous-groupes de G. [002973] Exercice 2974 Loi ∆ Soit E un ensemble et G = P(E). 1. Montrer que (G, ∆) est un groupe commutatif. X X 2. Pour a ∈ E, on note φa : G → Z/2Z définie par 0˙ si a ∈ /X . ˙1 si a ∈ X Montrer que φa est un morphisme de groupes. 3. On prend E = {1, . . . , n} et on note n Φ : G → Z/2Z , X → (φ1 (X), . . . , φn (X)). Montrer que Φ est un isomorphisme

les exercices • Étude d'une loi interne • Montrer qu'un ensemble muni d'une loi interne est un groupe ou un sous-groupe d'un groupe • Montrer qu'un ensemble muni de deux lois internes est un anneau ou un sous-anneau d'un anneau • Calculs dans un ensemble muni d'une loi interne, dans un groupe, dans un anneau, dans un corps • Étude d'images directes, d'images réciproques de parties par un morphisme. Points essentiels du cours pour la résolution des exercices • Définitions de : loi interne, commutativité

a ab = ba} (centre de G), et pour a ∈ G : C(a) = {b ∈ G tq ab = ba} (commutant de a). Montrer que Z(G) et C(a) sont des sous-groupes de G. [002973] Exercice 2974 Loi ∆ Soit E un ensemble et G = P(E). 17 1. Montrer que (G, ∆) est un groupe commutatif. 2. Pour a ∈ E, on note φa : G → Z/2Z définie par Montrer que φa est un morphisme de groupes. 3. On prend E = {1, . . . , n} et on note Φ : G → Z/2Z , X → (φ1 (X), . . . , φn (X)). Montrer que Φ est un isomorphisme de groupes. [002974] n X X

éléments simples dans R(X), C(X).  Groupes, Anneaux et Corps - Introduction rapide à la notion de groupe, sous groupe. Ordre d’un élément. Sous-groupe engendré par un élément. Groupes cycliques. Théorème de Lagrange. - Anneaux commutatifs, exemples, idéal d’un anneau commutatif. Corps.  Arithmétique - Division euclidienne dans Z . Idéaux de Z . Divisibilité, PGCD, PPCM. Théorème de Bezout. - Procédure de calcul du PGCD, Procédure de calcul des couples de Bezout. - Congruences, l’anneau Fermat. Z

nombres, notamment Z, R et C; des applications exponentielle et logarithme ; de l’alg`bre lin´aire et de la g´om´trie. e e e e MPSI D´finition d’un anneau (ayant un ´l´ment unit´), d’un souse ee e anneau. Distributivit´ du produit par rapport au symbole e sommatoire . D´finition d’un corps (commutatif et non r´duit ` {0}), e e a d’un sous-corps. Anneau Z des nombres entiers, corps Q des nombres rationnels. b) § Arithm´tique dans Z. Calculs dans R ou C. e Multiples et diviseurs d’un entier. Division

Thèmes abordés dans les exercices • Étude d'une loi interne • Montrer qu'un ensemble muni d'une loi interne est un groupe ou un sous-groupe d'un groupe • Montrer qu'un ensemble muni de deux lois internes est un anneau • Calculs dans un ensemble muni d'une loi interne, dans un groupe, dans un anneau, dans un corps • Étude d'images directes, d'images réciproques de parties par un morphisme. Points essentiels du cours pour la résolution des exercices • Définitions de : loi interne, commutativité, associativité

(Tout ´l´ment est sym´trisable). ee e On dit que le groupe est commutatif (ou ab´lien) si en plus des propri´t´s (G1), (G2) et (G3) e ee on a ∀x,y ∈ E x ∗ y = y ∗ x(Commutativit´). e Exemple 2.1.2 i) (IR,+) est un groupe commutatif. ii) (F(IR,IR),+) est un groupe commutatif. D´finition 2.1.3 Soit (K, + ,×) un ensemble muni de deux lois de composition interne + e et ×. On dit que (K, + ,×) est un corps si : (C1) (K,+) est un groupe commutatif ; (C2) (K ∗ ,×) est ( groupe ; un x × (y + z) = x × y + x ×

simplification OH2 = a, et donc OH = √a. Cette construction a son importance dans l’étude des nombres constructibles. Notion algébrique générale[modifier] Soient x et a deux éléments d’un anneau A, tels que x2=a. L'élément x est alors une racine carrée de a. En général (si l'anneau n'est pas intègre ou s'il n'est pas commutatif), un élément peut avoir plus de deux racines carrées. Par exemple dans l'anneau Z/9Z, les racines carrées de 0 sont 0, 3 et -3, et dans le corps gauche des quaternions, tout réel strictement