Anneau commutatif

affine. Être capable d’en tirer des applications à la théorie des nombres et à la théorie des codes. Contenu : anneaux commutatifs et leurs modules. Localisation : idéaux premiers, racine d’un idéal, anneaux et modules de fractions, anneaux locaux. Dépendance entière : clôture intégrale, théorème de montée. Anneaux et modules noethériens, anneaux de polynômes sur un anneau noethérien. Ensembles algébriques affines, théorème des zéros de Hilbert, ensembles algébriques irréductibles et idéaux

triangulaire inférieure si ∀(i, j) i < j ⇒ aij = 0. On dit que A est diagonale si i = j ⇒ aij = 0. Une matrice A ∈ M(K) est dite symétrique si A = tA et antisymétrique si A = −tA. On note Gln (K) le groupe des matrices inversibles. Mn (K) est un anneau non commutatif et non intègre. Une matrice extraite de la matrice A est une matrice obtenue à partir de A en supprimant certaines lignes et certaines colonnes . Matrice d’une application linéaire Soient E et F deux espaces vectoriels de dimension finie

relation d'ordre par la méthode de Dedekind. Le second problème de cohérence théorique, lié au premier mais qui n'a pas sa place ici dans une première approche, serait alors de démontrer que tous ces "ensembles" sont isomorphes en tant que corps commutatifs totalement ordonnés et vérifiant les axiomes d'Archimède et de Cantor (une suite d'intervalles emboîtés défini un réel unique). Avertissement. Les développements qui suivent sont une étude de faisabilité : est-il pertinent de définir un réel par

G on a : x ∗ y = y ∗ x, on dit que la loi ∗ est commutative et que le groupe (G, ∗) est commutatif. Convention : pour calculer dans un groupe, on omettra souvent le signe ∗ et on ´crira e gh au lieu de g ∗ h. Exemples : 1) L’ensemble des transformations du rectangle (respectivement du carr´) e avec la loi de composition naturelle forme un groupe de cardinal 4 (respectivement 8). Le premier groupe est commutatif, le second ne l’est pas. 2) Les ensembles Z,Q,R et C, munis de l’addition sont des groupes

corps K et soit L(E, F ) l’ensemble des applications linéaires de E dans F. Alors L(E, F ) est un espace vectoriel sur K pour les lois définies par les formules (1.10) et (1.11). (ii) Soit E un espace vectoriel sur un corps K. Alors L(E, E) est un anneau unitaire pour l’addition définie par la formule (1.11) et pour la composition des applications. On verra au Chapitre suivant que si dim(E) = m et dim(F ) = n alors dim(L(E, F )) = mn. 10 CHAPITRE 1. ESPACES VECTORIELS,APPLICATIONS LINÉAIRES

montrerons le plus rapidement possible. On remarquera que la somme et le produit de deux fonctions analytiques sur U sont des fonctions analytiques sur U (en application de la proposition I.1.6). L’ensemble des fonctions analytiques sur U est ainsi un anneau. C’est bien ´videmment un espace vectoriel sur C. En plus, les structures d’anneau e et d’espace vectoriel sont compatibles (λ(f g) = (λf )g = f (λg)) ce qu’on r´sume en disant : e Proposition I.1.9. L’ensemble des fonctions analytiques sur l’ouvert

] √ A - Etude de l’anneau (Z[ 2], +, ·) √ √ On note dans tout le problème A = Z[ 2] = {a + b 2 ; (a, b) ∈ Z2 }. √ 1 - Montrer que 2 est un nombre irrationnel. 2 - Montrer que A, muni de l’addition et de la multiplication des réels, est un anneau commutatif. √ 3 - a) Montrer que, pour√ tout x ∈ A, il existe un unique couple (a, b) ∈ Z2 tel que x = a + b 2. On notera alors x = a − b 2 et N(x) = x x . On appelle x le conjugué de x dans A, et N(x) la norme ¯ ¯ ¯ de x. b) Montrer que, pour tout x ∈

tous entiers relatifs a − b, c − d, (a − b) + (c − d) = (c − d) + (a − b) ; – tout ´l´ment a − b a un oppos´, b − a, tel que (a − b) + (b − a) = (a + b) − (a + b) = (0, 0). ee e Ces propri´t´s sont caract´ristiques de ce qu’on appelle un groupe commutatif. ee e De plus, tout ´l´ment de Z est de la forme a − 0 ou 0 − a : si c ≥ d, il existe n tel que ee c = d + n et c − d = n − 0 ; sinon, il existe n tel que d = c + n et c − d = 0 − n. Pour all´ger les e notations, on note a l’´l´ment a − 0 de Z et

application est linéaire 2) Calculer 2 (xn ) = (xn ) 3) Calculer par récurrence p (xn ) ; 8p 2 N 4) A partir de la dé…nition de l’ opérateur B (Backward ou retard) : B(xn ) = xn 1 ;. redé…nir ; 2 en fonction de B. (l’ ensemble Id; B forme un anneau commutatif ) Utiliser la formule du binôme de Newton pour calculer p Indication. En cas d’ oubli (a + b)n = an + n 1 an 1 b + ::: + n k an k k b + ::: + bn Exercice 1.4 En utilisant les propriétés des équations de récurrence, déterminer

Remarques: • L’algèbre n( n( ) n’est pas intègre lorsque n 2. Par exemple : = O2 . De ce fait, il y a dans 0 0 . 1 0 • On peut utiliser dans n ( ) les règles du calcul algébrique, en prenant garde toutefois au fait que le produit n’est pas commutatif. Par exemple, si A, B ∈ n ( ) commutent (i.e. AB = BA), alors on peut utiliser le binôme de Newton pour calculer (A + B)n . Mais si AB = BA on peut néanmoins développer, par exemple : (A + B)2 = A2 + AB + BA + B 2 .   1 1 0   Exercice: Soit